三次方程式ソルバー
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0の根は3、2、1です。4つの係数を入力すると、実数でも複素数でも3つの根が、簡約形と判別式とともに分かります。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 11
- D
- -6
- 方程式
- 1*x^3 + -6*x^2 + 11*x + -6 = 0
- 判別式
- -0.037037037
- 根の種類
- three_real
- 実根の個数
- 3
三次方程式とは、先頭係数 a が零でないとき、a かける x の三乗、b かける x の二乗、c かける x、および d の和が零に等しいと書かれる次数三の多項式方程式です。Cardano の古典的閉形式は、短い代数的手順の後に複素数上のすべての根を依然として与えます。まず a で割ってモニック多項式にし、二次の項を消すよう変数をずらし、得られた簡約三次 t の三乗プラス p t プラス q が零を解き、三つの解を元に戻します。簡約判別式の符号が状況を完全に分類します。相異なる三つの実根、多重実根のパターン、あるいは一つの実根と複素共役対です。本ソルバーは三つの根を実部と虚部として、簡約係数 p と q、判別式、読みやすい方程式文字列を返すので、宿題、競技用フィクスチャ、本番ノートブックが一つの基準真理を共有できます。a が零のときは二次を三次として黙って扱うのではなく、明確な検証エラーで要求を拒否します。
Cardano法が一般の三次をどう解くか
一般の実三次 a かける x の三乗プラス b かける x の二乗プラス c かける x プラス d が零から始め、方程式が本当に次数三であるよう a が非零であることを要求します。a で割ってモニック形 x の三乗プラス A x の二乗プラス B x プラス C が零を得ます。
置換 x が t マイナス A を三で割ったものは二乗の項を消し、簡約三次 t の三乗プラス p t プラス q が零を生み、ここで p と q は A、B、C の初等多項式です。その簡約三次の判別式は Delta が q を二で割ったものの二乗プラス p を三で割ったものの三乗に等しいものです。
Delta が正のとき、二つの立方根と非実の立方根の単位根から成る古典的 Cardano 式は一つの実根と複素共役対を与えます。Delta が零のとき、すべての根は実で少なくとも二つが一致し、完全立方や線形因子の二乗ともう一つの線形因子といった二重根の教科書例を回復します。
Delta が負のとき — 有名な casus irreducibilis — 相異なる三つの実根が現れ、安定な評価経路は負の p を三で割ったものの平方根の二倍に、三分の一角の arccos 引数を二 pi を三で割ったものの倍数でずらした余弦を掛ける三角恒等式を用います。
三つの t 値が分かった後、各根は A を三で割ったものを引いて戻され、元のモニックしたがって元のスケール多項式の解を復元します。係数は有限でなければならず、NaN と Infinity は拒否されます。Cardano が零除算となり、問題がもはや三次でなくなるためです。
三次方程式ソルバーが実務で現れる場面
中等・大学の代数授業は Cardano ドリル、判別式分類表、因数分解か公式かの比較を絶えず課します。実部と虚部付きで三根すべてを返す信頼できる単一のオラクルは採点とデモ準備を速めます。
プログラミング競技問題や面接ウォームアップは体積制約、三次コストモデル、置換後の簡約形の下に三次を隠すことが多く、技術者は未検査の根号から来る黙った NaN ではなく三実根対複素の正確な分類を必要とします。制御理論と機械設計は安定余裕のために三次特性方程式を解き、閉形式経路を離れずに三掛ける三のコンパニオン行列のすべての複素固有値を必要とします。
グラフィックス、アニメーション、ゲームエンジンは三次 Bezier タイミング曲線を標本化し、衝突やシルエット照会に沿って三次多項式のパラメータ根を解きます。
後で二次公式のみ、Ferrari の四次解、二つの多項式方程式の系、整数上の記号的因数分解が必要なら、この Cardano 三次ソルバーページを過負荷にするのではなく、別の検索意図とランディングとして扱ってください。
活用例
宿題・試験の解答キー
教科書の ax³+bx²+cx+d 集合について三根すべて、簡約 p/q、判別式クラスを生成し、教員と自動採点が一つの基準真理を共有できるようにします。
特性方程式と安定性
3×3 線形モデル由来の三次特性多項式を解き、反復根探索なしに実スペクトルと複素スペクトルを分類します。
三次コスト・体積・Bezier パラメータ
三次曲線の実交点パラメータと三次コストモデルの損益分岐根を求め、必要なときは正直な複素フォールバックを付けます。
よくある質問
複素根も返しますか？
はい。 簡約判別式が正のときは一つの実根と複素共役対を得ます。負のときは三つの実根を得ます。各根は re と im を持つオブジェクトです。
簡約三次とは何ですか？
応答は中間の代数手順を検証できるよう p、q、shift を含みます。
x³ − 6x² + 11x − 6 = 0の根は何ですか？
3、2、1の3つで、どれも異なる実数です。たとえば1を代入すると1 − 6 + 11 − 6となり、ちょうど0になります。
実数の根がいくつあるかはどう分かりますか？
簡約三次の判別式の符号で決まります。正なら実数の根1つと共役な複素数の組、0なら重なる実数の根、負なら異なる3つの実数の根です。
最初の係数が0ならどうなりますか？
三次方程式ではなくなるため、受け付けません。カルダノの方法は三次の係数で割るので、その場合は二次方程式のソルバーを使ってください。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":11,"d":-6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/cubic-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 11,
"d": -6
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.cubic_equation",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
無料ブラウザツールと有料 API は一つの純粋な同型関数を共有するため、同じ係数では教室デモと自動パイプラインが決して食い違いません。
Cardano法が一般の三次をどう解くか
パイプライン全体は決定的な浮動小数点演算であり、乱数シード、壁時計タイムスタンプ、ネットワーク呼び出し、モデルドリフトはなく、同一係数は常に同一 JSON を生みます。a がほぼ零の特別な場合は invalid_input で拒否されます。
送る内容と返ってくる内容
a が零または極めて零に近いとき、要求は Cardano 法が非零の三次項を必要とするというメッセージで失敗し、クライアントは推測せず二次ソルバーへ切り替えられます。純実解では虚部はすべて零であり、混合スペクトルでは複素対は共役です。古典的教科書確認には a が一、b が負の六、c が十一、d が負の六で根が三、二、一；簡約三重根の場合 x の三乗が零；および x の三乗プラス x プラス一が零のような一つの実根と二つの複素根を持つ三次が含まれます。宿題と素早い健全性確認には無料ブラウザフォームを接続し、解答キーや回帰フィクスチャの大量生成が必要なときはスクリプトから同一契約を呼び出してください。検証失敗は前払い残高を消費しません。a、b、c、d の各フィールドに、a かける x の三乗プラス b かける x の二乗プラス c かける x プラス d が零の係数を表す四つの有限数を送ってください。四つのフィールドはすべて必須です。欠落フィールド、非数値文字列、NaN、Infinity は invalid_input で失敗し、課金されません。成功時、応答は清掃済み係数、印刷可能な方程式文字列、モニック係数 A、B、C、簡約三つ組 p、q、shift、数としての簡約判別式、three_real、one_real_two_complex、multiple_real のいずれかとしての root_type、真偽 real_roots、real_root_count、それぞれ re と im を持つ三つのオブジェクトの配列 roots をエコーします。成功した API 呼び出しの料金は公開された基準 $0.002 毎件です。
三次方程式ソルバーが実務で現れる場面
この能力は純粋な parse エンジンなので、API 料金は成功一件あたり公開基準 $0.002 で、失敗した検証は残高を消費しません。
技術的な質問
この三次方程式ソルバーはどの手法を使いますか？
Cardano 法です。モニック正規化、簡約 x = t − b/(3a)、判別式場合分けによる t³ + p t + q = 0 の解（Cardano 立方根または三角形式）、その後の逆代入です。
a が零だとどうなりますか？
要求は invalid_input で失敗します。Cardano 法は非零の三次係数を必要とします。二次 ax² + bx + c = 0 は別問題であり別ランディングです。
費用はいくらですか？
ブラウザツールは無料でローカル実行です。API 要求は成功一件あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、無効入力は課金されません。