退化三次ソルバー

退化三次方程式とは、二次の項がすでに消えたモニックな三次式で、t の三乗に p t と q を加えたものがゼロとなる形です。既約の場合 casus irreducibilis に出会う学習者、レゾルベントを段階的に示す指導者、手作業で既に多項式を退化させたノートブック著者は、本格的な数式処理を再度開かずに三つの根—実根または複素根—を必要とします。

退化三次とは何か、Cardano レゾルベントの仕組み

モニックな三次式 x の三乗に A x の二乗と B x と C を加えたものがゼロから始めます。x を t から A を三で割ったものを引く置換により二次の項が消え、t の三乗に p t と q を加えた退化形が得られ、p と q は A・B・C の明示的な多項式です。Cardano 法は根を推測しません。

補助数 u と v を導入し t が u と v の和、三 u v がマイナス p となるようにすると、u の三乗と v の三乗はマイナス q の半分に判別式 Delta の平方根を加えたものと引いたものになります。

Delta が正なら実根一つと共役複素対、ゼロなら重実根、負—casus irreducibilis—なら三実根で、古典的な立方根は答えが実でも複素になるため、本ソルバーはマイナス p の三分の一の平方根の二倍に三分の一の arccos の余弦を掛ける三角法の等価形に切り替えます。

三根は常に複素平面に存在し、t ゼロは u と v の和、他の二つは u と v を非実の立方根の単位 omega と omega 二乗と組み合わせます。

入力契約、応答形、エラーの扱い

t の係数 p と定数項 q で、方程式は t の三乗に p t と q を加えたものがゼロです。resolvent オブジェクトは u・v・delta を公開し、クライアントは Cardano の中間立方根を再計算せずに示せます。method と formula はアルゴリズムが古典的判別式恒等式を用いた Cardano であることを再述します。

例: p がマイナス三、q が二なら Delta ゼロで、二・マイナス一・マイナス一の重実根となり、(t マイナス一) の二乗と (t プラス二) の因数分解と一致します。よくある確認として p がゼロで q がマイナス八なら、実の立方根二と八の二つの複素立方根が得られます。グラフが必要なら独自の描画や手順文と組み合わせてください。

退化三次方程式を解くと役立つ場面

三次の平方完成のあと Cardano を教える代数の授業では、すでに退化形を仮定する決定論的オラクルが必要で、学習者は退化シフトではなくレゾルベントと判別式の場合分けに集中できます。試験生成器と LMS プラグインは t の三乗に p t と q を加えた宿題を採点し、学習目標が退化形そのものであるため四係数の一般三次を代用として受け付けません。

数式処理ノートブックは手作業や短いスクリプトで三次を退化したあと、スナップショット試験のために Cardano 枝だけを固定順の複素根で回したいことがよくあります。

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