Cubique déprimée

Une cubique déprimée est une cubique monique qui a déjà perdu son terme quadratique, écrite comme t au cube plus p t plus q égal zéro. Les étudiants confrontés au casus irreducibilis, les tuteurs qui construisent des démonstrations du résolvant pas à pas, et les auteurs de carnets qui ont déjà déprimé un polynôme à la main ont besoin des trois racines—réelles ou complexes—sans rouvrir une suite symbolique complète. Ce solveur de cubique déprimée accepte des coefficients finis p et q, forme le discriminant Delta égal à (q sur deux) au carré plus (p sur trois) au cube, construit les racines cubiques du résolvant de Cardano u et v, et renvoie les trois racines comme paires complexes avec le type de racine et la charge utile du résolvant.

Qu’est-ce qu’une cubique déprimée et comment fonctionne le résolvant de Cardano

Partez d’une cubique monique x au cube plus A x au carré plus B x plus C égal zéro. La substitution x égal t moins A sur trois annule le terme quadratique et produit la forme déprimée t au cube plus p t plus q égal zéro, où p et q sont des polynômes explicites en A, B et C.

La méthode de Cardano ne devine pas les racines : elle introduit des nombres auxiliaires u et v tels que t égal u plus v et trois u v égal moins p, ce qui force u au cube et v au cube à être les deux valeurs moins q sur deux plus ou moins la racine carrée du discriminant Delta égal à (q sur deux) au carré plus (p sur trois) au cube.

Lorsque Delta est positif il y a une racine réelle et une paire conjuguée complexe ; lorsque Delta est nul il y a des racines réelles multiples ; lorsque Delta est négatif—le casus irreducibilis—les trois racines sont réelles et les racines cubiques classiques deviennent complexes alors que les réponses sont réelles, si bien que ce solveur bascule vers la forme trigonométrique équivalente avec deux fois la racine carrée de moins p sur trois multipliée par le cosinus d’une expression arccos sur trois.

Les trois racines existent toujours dans le plan complexe : t zéro égale u plus v, et les deux autres apparient u et v aux racines cubiques non réelles de l’unité oméga et oméga au carré.

Contrat d’entrée, forme de la réponse et erreurs

L’objet resolvent expose u, v et delta afin que les clients puissent montrer les racines cubiques intermédiaires de Cardano sans les recalculer. Les champs method et formula rappellent que l’algorithme est Cardano avec l’identité classique du discriminant. Exemple : p égal moins trois et q égal deux donne Delta zéro, des racines réelles multiples en deux, moins un et moins un, correspondant à la factorisation (t moins un) au carré fois (t plus deux).

Un autre contrôle courant est p égal zéro et q égal moins huit, qui récupère la racine cubique réelle deux et les deux racines cubiques complexes de huit. Associez la réponse à votre propre tracé ou prose d’étapes si vous avez besoin de graphiques ; ce point de terminaison résout seulement pour t et n’émet ni graphiques ni leçons multipages au-delà des champs formula et resolvent.

Où résoudre une cubique déprimée est utile

Les cours d’algèbre qui enseignent Cardano après avoir complété le carré pour les cubiques ont besoin d’un oracle déterministe qui suppose déjà la forme déprimée, afin que les apprenants se concentrent sur le résolvant et les cas du discriminant plutôt que sur le décalage de dépression. Les générateurs d’examens et les plugins LMS notent des devoirs sur t au cube plus p t plus q sans accepter une cubique générale à quatre coefficients comme substitut, car l’objectif d’apprentissage est le cas déprimé lui-même.

Les carnets d’algèbre informatique dépriment souvent une cubique à la main ou avec un court script, puis veulent seulement la branche Cardano exercée et les racines complexes renvoyées dans un ordre fixe pour des tests d’instantané. Les sites de contenu qui se classent sur solveur de cubique déprimée gagnent un outil gratuit dans le navigateur dont le module pur correspond octet par octet au chemin d’automatisation payant, capturant une intention de recherche qu’une page d’équation cubique générale ne couvre pas entièrement. Une validation en échec ne consomme pas le solde.

Gardez les requêtes petites, figez dans les tests les racines et le résolvant nettoyés, et vous obtenez des racines Cardano reproductibles pour l’enseignement, la notation et les workers de bord sans monter votre propre pile de mathématiques symboliques complète.