Cúbica deprimida
t³ − 3t + 2 = 0 tiene las raíces 1, 1 y −2, porque se factoriza como (t − 1)²(t + 2): indique p y q y obtenga las tres raíces con el discriminante y los valores intermedios de Cardano. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Potencia (W)
- -3
- Q
- 2
- Ecuación
- t^3 + (-3)*t + (2) = 0
- Discriminante
- 0
- Tipo de raíz
- multiple_real
- Número de raíces reales
- 3
Una cúbica deprimida es una cúbica mónica que ya ha perdido el término cuadrático, escrita como t al cubo más p t más q igual a cero. Estudiantes que encuentran el casus irreducibilis, tutores que preparan demostraciones del resolvente paso a paso y autores de cuadernos que ya deprimieron un polinomio a mano necesitan las tres raíces—reales o complejas—sin abrir de nuevo un sistema simbólico completo. Este resolutor de cúbica deprimida acepta coeficientes finitos p y q, forma el discriminante Delta igual a (q entre dos) al cuadrado más (p entre tres) al cubo, construye las raíces cúbicas del resolvente de Cardano u y v, y devuelve las tres raíces como pares complejos junto con el tipo de raíz y la carga del resolvente.
Qué es una cúbica deprimida y cómo funciona el resolvente de Cardano
Parta de la cúbica mónica x al cubo más A x al cuadrado más B x más C igual a cero. La sustitución x igual a t menos A entre tres cancela el término cuadrático y produce la forma deprimida t al cubo más p t más q igual a cero, donde p y q son polinomios explícitos en A, B y C.
El método de Cardano no adivina raíces: introduce números auxiliares u y v tales que t igual a u más v y tres u v igual a menos p, lo que fuerza a que u al cubo y v al cubo sean los dos valores menos q entre dos más o menos la raíz cuadrada del discriminante Delta igual a (q entre dos) al cuadrado más (p entre tres) al cubo.
Cuando Delta es positivo hay una raíz real y un par conjugado complejo; cuando Delta es cero hay raíces reales múltiples; cuando Delta es negativo—el casus irreducibilis—las tres raíces son reales y las raíces cúbicas clásicas se vuelven complejas aunque las respuestas sean reales, de modo que este resolutor pasa a la forma trigonométrica equivalente con dos veces la raíz cuadrada de menos p entre tres por el coseno de una expresión arccos entre tres.
Las tres raíces existen siempre en el plano complejo: t cero es u más v, y las otras dos emparejan u y v con las raíces cúbicas no reales de la unidad omega y omega al cuadrado.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
El objeto resolvent expone u, v y delta para que el cliente muestre las raíces cúbicas intermedias de Cardano sin recalcularlas. Los campos method y formula reiteran que el algoritmo es Cardano con la identidad clásica del discriminante. Ejemplo: p igual a menos tres y q igual a dos produce Delta cero, raíces reales múltiples en dos, menos uno y menos uno, que coinciden con la factorización (t menos uno) al cuadrado por (t más dos).
Otra comprobación habitual es p igual a cero y q igual a menos ocho, que recupera la raíz cúbica real dos y las dos raíces cúbicas complejas de ocho.
Dónde le sirve resolver una cúbica deprimida
Los cursos de álgebra que enseñan Cardano tras completar el cuadrado en cúbicas necesitan un oráculo determinista que ya asume la forma deprimida, para que el alumnado se centre en el resolvente y en los casos del discriminante en lugar del cambio de depresión. Los generadores de exámenes y los plugins LMS corrigen deberes sobre t al cubo más p t más q sin aceptar una cúbica general de cuatro coeficientes como sustituto, porque el objetivo de aprendizaje es el caso deprimido en sí.
Los cuadernos de álgebra computacional a menudo deprimen una cúbica a mano o con un script breve y luego quieren ejercitar solo la rama Cardano con raíces complejas en un orden fijo para pruebas de instantánea. Los sitios de contenido que posicionan por resolutor de cúbica deprimida ganan una herramienta gratuita en el navegador cuyo módulo puro coincide byte a byte con la automatización de pago, capturando una intención de búsqueda que una página de ecuación cúbica general no cubre del todo. La validación fallida no consume saldo.
Mantenga las peticiones pequeñas, fije en pruebas las raíces y el resolvente limpios, y obtendrá raíces Cardano reproducibles para enseñanza, corrección y workers de borde sin montar un apilamiento simbólico completo propio.
Qué puede hacer con ella
Corrección LMS de cúbicas deprimidas
Corrija de forma automática deberes que ya deprimieron una cúbica, rechazando coeficientes inválidos y devolviendo un orden de raíces estable para correctores por instantánea.
Cuadernos tras la depresión manual
Resuelva solo la etapa deprimida en scripts que ya hacen x=t−b/(3a), sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el discriminante de una cúbica deprimida?
Δ = (q/2)² + (p/3)³. Δ positivo: una raíz real y dos complejas conjugadas; cero: raíces reales múltiples; negativo: tres raíces reales distintas (casus irreducibilis).
¿Se devuelven raíces complejas?
Sí. Cada llamada devuelve tres raíces como pares {re, im}.
¿Qué es una cúbica deprimida?
Es una cúbica con coeficiente principal 1 y sin término al cuadrado, de la forma t³ + pt + q igualada a cero. Cualquier cúbica general se lleva a esta forma desplazando la variable, y el método de Cardano trabaja sobre ella.
¿Cuáles son las raíces de t³ − 3t + 2 = 0?
Son 1, 1 y −2. El discriminante vale 0, lo que indica una raíz real repetida, y la ecuación se factoriza como (t − 1)²(t + 2).
¿Qué es el casus irreducibilis?
Es el caso de discriminante negativo: las tres raíces son reales, pero las raíces cúbicas de Cardano pasan por números complejos. El resolutor cambia a una forma trigonométrica equivalente con cosenos para llegar directamente a las tres raíces reales.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":-3,"q":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": -3,
"q": 2
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": -3,
"q": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":-3,"q":2}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":-3,"q":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/depressed-cubic", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"p": -3,
"q": 2
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.depressed_cubic",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Toda cúbica general ax³+bx²+cx+d=0 se reduce a esta forma con el cambio x igual a t menos b entre tres a, de modo que el ataque clásico de Cardano vive en la ecuación deprimida.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Envíe por POST un cuerpo JSON con dos números finitos obligatorios: p, el coeficiente de t, y q, el término constante, para la ecuación t al cubo más p t más q igual a cero. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; campos ausentes, cadenas vacías, valores no finitos y cuerpos que no son objeto fallan con invalid_input nombrando el problema, y esos fallos no se facturan. Combine la respuesta con su propio trazado o prosa de pasos si necesita gráficos; este endpoint resuelve solo para t y no emite gráficas ni lecciones multipágina más allá de formula y resolvent.
Dónde aporta valor una API Cardano de cúbica deprimida
Modelos de ingeniería y física que ya trabajan en una coordenada desplazada donde desapareció el término cuadrático—expansiones de campo medio, polinomios característicos reducidos—pueden llamar a una API parse pequeña al precio base publicado $0.002 por ítem exitoso sin tokens de modelo ni red de salida.
Casos de integración
Demostraciones de Cardano y resolvente en clase
Permita que el alumnado envíe p y q para t³+pt+q=0 y compare las tres raíces ordenadas y el par resolvente con los pasos de Cardano hechos a mano.
Preguntas técnicas
¿Cómo se resuelve la cúbica deprimida t³ + p t + q = 0?
Envíe números finitos p y q. La API forma Δ=(q/2)²+(p/3)³, construye los resolventes de Cardano u y v, y devuelve tres raíces complejas más root_type y el objeto resolvent.
¿Resuelve una cúbica general ax³+bx²+cx+d=0?
No. Este endpoint asume la forma deprimida t³+pt+q=0. Deprima primero con x=t−b/(3a), o use un resolutor de ecuación cúbica general si necesita el problema de cuatro coeficientes.
¿Cuánto cuesta el resolutor de cúbica deprimida?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.