ForHosting KIT · 数学

立方方程式 x³=k

Q: ソルバーは複素根も返しますか？

はい。 実数 k が0でないとき、常に実根1つと共役複素根2つがあります。

Q: x³ = kの根が1つではなく3つあるのはなぜですか？

複素数の範囲では3次方程式は必ず3つの根を持つためです。kの実数の立方根に1の3つの立方根を掛けたもので、実数解に共役な複素数の組が加わります。

Q: kが0のときはどうなりますか？

3つの根はすべて0になり、0は三重の実数解です。実数解0との積はどれも0なので、複素数の組は現れません。

Q: 複素根はどうやって確かめますか？

それぞれの根を3乗してkと比べます。x³ = 8なら、-1 + i√3も-1 - i√3も3乗すると8になり、実数解2と同じ結果です。

x³ = 8の解は1つではなく3つで、実数解2と複素数の組-1 ± i√3です。実数kを入力すると、x³ = kの3つの根を実部と虚部で確認できます。ブラウザで無料で使えます。

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データは端末の外に出ません

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

K: 8

結果

方程式: x^3=8
実数解: 2

純三次方程式 x の三乗が k に等しいという問題は、三乗が実定数 k になるすべての複素数を求めます。代数の学習者が最初に出会うのは実立方根ですが、代数学の基本定理は、実軸の外に共役対として存在するあと2つの根を保証します。この立方方程式ソルバーは有限な実数 k を1つ受け取り、符号を保つ立方根プリミティブで一意の実立方根を計算し、それを1の三乗根3つと掛け合わせ、実根と直交形式（実部と虚部）で表した2つの複素根を返します。完全な計算機代数システムを立てずに x³ = k の3解すべてが必要なときにご利用ください。

x³ = k の意味と3つの立方根が現れる仕組み

実数上では x を x の三乗へ写す写像は全単射なので、任意の実数 k にはちょうど1つの実立方根があります。複素数上では x の三乗が k に等しいという方程式はモニックな三次式であり、重複度を込めて3つの根を持ちます。それら3根は、実立方根 r（k の立方根）と1の三乗根である1、オメガ、オメガの二乗との積です。

ここでオメガはマイナス2分の1に i 倍の3の平方根の2分の1を加えたもの、オメガの二乗はその共役です。すなわち虚部が0の実根 r と、マイナス r の2分の1にプラスマイナス i 倍の r 倍の3の平方根の2分の1という共役対です。

k が正のとき実根は正で複素対の実部は負、k が負のとき実根は負で複素対の実部は正、k が0のとき3根はすべて原点に三重実根として潰れます。各根を三乗して k に戻ることを確かめるだけなら、極形式の絶対値と偏角は不要です。

構成が実立方根と固定の代数因子だけを使うため、結果は完全に決定的であり、負の実数に対する主値複素立方根実装を悩ませる分岐切断からも自由です。

入力契約、応答の形、エラー時の振る舞い

k は x の三乗が k に等しいときの右辺です。例：k が8のとき実根は2、複素対はマイナス1プラスマイナス i 倍の3の平方根です。2の三乗は8であり、各複素根も三乗すると8になるからです。

例：k がマイナス8のとき実根はマイナス2、複素対は1プラスマイナス i 倍の3の平方根です。独立検証が必要な場合は、各複素数を自分自身と二回掛け合わせる独自の検証手順と数値根を組み合わせてください。

純立方方程式が役立つ場面

教室やチュータリング平台は、x の三乗が8に等しいとき実答が1つと複素答が2つあることを学習者が見られるよう、立方方程式ソルバーを使います。電卓が表示する実立方根だけでは足りません。試験準備ジェネレータには、エンジン間で2πずれる浮動極角ではなく、順序付きの直交対を返す決定的オラクルが必要です。

工学や信号処理のノートブックは、特性方程式の立方根分岐やカルダノ中間段を純形 x の三乗が k に等しい形へ落とすことが多く、完全な計算機代数ライブラリを入れずに両方の複素根を必要とします。検証失敗は残高を消費しません。

活用例

教室と宿題の確認

学習者に x³ = k の k を提出させ、実立方根と2つの複素直交根を教科書の1の三乗根の方法と照合させます。

ノートブックとカルダノ中間段

三次ソルバーや信号モデル内の純形 x³ = k 分岐を、完全な計算機代数システムを取り込まずに解決します。

よくある質問

ソルバーは複素根も返しますか？

はい。実数 k が0でないとき、常に実根1つと共役複素根2つがあります。

k が負の場合はどうなりますか？

負の k も受け付けます。実立方根は負（Math.cbrt は符号を保つ）で、複素対の実部は r < 0 のときの −r/2 で正になります。

x³ = kの根が1つではなく3つあるのはなぜですか？

複素数の範囲では3次方程式は必ず3つの根を持つためです。kの実数の立方根に1の3つの立方根を掛けたもので、実数解に共役な複素数の組が加わります。

kが0のときはどうなりますか？

3つの根はすべて0になり、0は三重の実数解です。実数解0との積はどれも0なので、複素数の組は現れません。

複素根はどうやって確かめますか？

それぞれの根を3乗してkと比べます。x³ = 8なら、-1 + i√3も-1 - i√3も3乗すると8になり、実数解2と同じ結果です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"k":8}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "k": 8
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "k": 8
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"k":8}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"k":8}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-cube-equation", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "k": 8
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.solve_cube_equation",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

無効または欠落した k は invalid_input で失敗し、課金されません。

x³ = k の意味と3つの立方根が現れる仕組み

積を展開すると、このエンドポイントが返す直交形式になります。直交形式（実部と虚部を別々の数として表す）は、多くの数値API、表計算、描画ライブラリが期待する形です。

入力契約、応答の形、エラー時の振る舞い

必須の有限数値フィールド k を1つ含む JSON 本体を POST してください。値は JSON 数でも数値文字列でも構いません。欠落フィールド、空文字列、NaN、Infinity はフィールド名を付けた invalid_input で失敗し、課金されません。このエンドポイントは解と整形だけを行い、formula 欄を超える手順説明や複素平面へのプロットは出しません。

純立方方程式APIが役立つ場面

実装は純粋パース tier A のため、成功した呼び出しは毎回公開の基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークもありません。リクエストを小さく保ち、丸めた直交成分をテストに固定すれば、独自の記号数学基盤を立てずに宿題、LMSプラグイン、エッジワーカー向けに再現可能な立方根が得られます。

連携の活用例

試験とLMSの自動採点

順序付き re/im 対を返し、非有限の k を invalid_input として拒否する決定的オラクルで、純立方方程式の設問を採点します。

技術的な質問

x³ = k の3根すべてをどう解きますか？

有限数 k を送ってください。API は実立方根 r = ∛k と、ω = −1/2 ± i√3/2 による複素根 r·ω および r·ω² を直交形式で返します。

どの入力が拒否されますか？

k の欠落、空文字列、非数値、NaN、Infinity は invalid_input で失敗し、課金されません。

立方方程式ソルバーの料金はいくらですか？

ブラウザツールは無料です。API リクエストは成功1回あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

立方方程式 x³=k

無料で実行

計算例

x³ = k の意味と3つの立方根が現れる仕組み

入力契約、応答の形、エラー時の振る舞い

純立方方程式が役立つ場面

活用例

教室と宿題の確認

ノートブックとカルダノ中間段

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

x³ = k の意味と3つの立方根が現れる仕組み

入力契約、応答の形、エラー時の振る舞い

純立方方程式APIが役立つ場面

連携の活用例

試験とLMSの自動採点

技術的な質問

ありがとう