Suma y resta de polinomios

La suma y la resta de polinomios son las primeras operaciones de anillo que todo estudiante de álgebra aprende tras combinar términos semejantes. Esta calculadora recibe dos polinomios univariados como listas densas de coeficientes—término constante primero, luego x, luego x al cuadrado, y así sucesivamente—los suma o resta coeficiente a coeficiente, y devuelve la lista simplificada sin ceros finales. También obtiene el grado de cada entrada y del resultado, más expresiones legibles para copiar en deberes o cuadernos.

Cómo funcionan la suma y la resta sobre listas de coeficientes

Un polinomio univariado denso se describe por completo con la lista ordenada de sus coeficientes para potencias ascendentes de x. La lista p igual a p cero, p uno, p dos, y así sucesivamente significa p de x igual a p cero más p uno por x más p dos por x al cuadrado y términos superiores hasta el último índice.

Para sumar dos de esos polinomios se alinean en el término constante, se rellena la lista más corta con ceros en el extremo de grado alto y se suman las posiciones coincidentes. La resta es la misma alineación con signo menos en cada coeficiente del segundo polinomio.

Tras la suma o diferencia punto a punto, se eliminan los ceros finales en los grados más altos de modo que la longitud del resultado iguala uno más el grado verdadero, salvo el polinomio cero que se representa como un único cero con grado convencional menos uno. Esa simplificación es exactamente lo que pide el libro «combine términos semejantes y escriba en forma estándar», y es lo que este motor devuelve como array resultado.

El algoritmo es tiempo lineal determinista en la longitud de la lista más larga: sin factorización, sin búsqueda de raíces, sin iteración de coma flotante más allá de la adición ordinaria de números finitos. Los coeficientes deben ser finitos; las cadenas que se analizan como números se aceptan por comodidad en campos de texto, pero objetos, booleanos usados como banderas y tokens no numéricos se rechazan.

Como la suma es asociativa y conmutativa sobre los reales (o racionales embebidos como flotantes), reordenar p y q bajo la operación add produce el mismo resultado simplificado, mientras que la resta se invierte al intercambiar operandos.

Qué envía usted y qué recibe de vuelta

Envíe dos arrays obligatorios bajo los campos p y q. Cada entrada debe ser un número finito que represente el coeficiente de x elevado al índice, con índice cero el término constante. Opcionalmente envíe op como add o sub; el valor predeterminado es add.

Comprobaciones clásicas: p igual a uno, dos, tres y q igual a tres, cero, uno con add produce cuatro, dos, cuatro que es cuatro más dos x más cuatro x al cuadrado; las mismas listas con sub producen menos dos, dos, dos. Ejemplos de cancelación como p igual a uno, uno y q igual a uno, uno con sub producen el polinomio cero como un único cero. La longitud de lista está limitada a diez mil coeficientes por polinomio para que cargas multi-megabyte accidentales no detengan un worker compartido.

Dónde aparecen la suma y la resta de polinomios en el trabajo real

El álgebra de secundaria y universidad asigna constantemente ejercicios de combinar términos semejantes, reescrituras en forma estándar y «sume estos dos polinomios»; un único oráculo de confianza que devuelve tanto el vector de coeficientes como una expresión legible acelera la calificación y la preparación de demos.

Las tareas de álgebra computacional a menudo empiezan con la suma densa antes de que los estudiantes conozcan mapas monomio dispersos o anillos multivariados, de modo que una calculadora densa honesta coincide con la primera unidad de muchos temarios sin pretender ser un CAS completo. Problemas de concursos de programación y calentamientos de entrevista ocultan la suma de polinomios bajo funciones generadoras, núcleos FIR de señal y recurrencias de conteo de caminos donde dos arrays de coeficientes deben sumarse antes de transformaciones posteriores.

Cuadernos de datos y ciencia combinan modelos de tendencia polinómica o polinomios característicos de etapas adyacentes de tubería y necesitan un recorte determinista de ceros iniciales en lugar de un error silencioso de coerción de tipos. Si más adelante necesita multiplicación de polinomios, división con resto, evaluación en un punto o búsqueda de raíces para cuadráticas y cúbicas, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes separados en lugar de sobrecargar esta página de calculadora de suma de polinomios.