Adição e subtração de polinômios
Junte termos semelhantes num passo só: 1 + 2x + 3x² mais 3 + x² dá 4 + 2x + 4x², e na subtração fica −2 + 2x + 2x². O grau de cada polinômio aparece junto. Grátis no seu navegador.
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A adição e a subtração de polinômios são as primeiras operações de anel que todo estudante de álgebra aprende após combinar termos semelhantes. Esta calculadora recebe dois polinômios univariados como listas densas de coeficientes—termo constante primeiro, depois x, depois x ao quadrado, e assim por diante—soma ou subtrai coeficiente a coeficiente e devolve a lista simplificada sem zeros finais. Você também obtém o grau de cada entrada e do resultado, mais expressões legíveis para copiar em lição ou cadernos.
Como adição e subtração de polinômios funcionam nas listas de coeficientes
Um polinômio univariado denso é completamente descrito pela lista ordenada de seus coeficientes para potências ascendentes de x. A lista p igual a p zero, p um, p dois e assim por diante significa p de x igual a p zero mais p um vezes x mais p dois vezes x ao quadrado e termos superiores até o último índice. Para somar dois desses polinômios você os alinha no termo constante, preenche a lista mais curta com zeros no extremo de grau alto e soma posições coincidentes.
A subtração é o mesmo alinhamento com sinal de menos em cada coeficiente do segundo polinômio. Após a soma ou diferença ponto a ponto, quaisquer zeros finais nos graus mais altos são removidos de modo que o comprimento do resultado iguala um mais o grau verdadeiro, exceto o polinômio zero representado como um único zero com grau convencional menos um. Essa simplificação é exatamente o que o livro pede ao «combinar termos semelhantes e escrever na forma padrão», e é o que este motor devolve como array resultado.
O algoritmo é tempo linear determinístico no comprimento da lista mais longa: sem fatoração, sem busca de raízes, sem iteração de ponto flutuante além da adição ordinária de números finitos. Coeficientes devem ser finitos; strings que analisam como números são aceitas por conveniência em campos de texto, mas objetos, booleanos usados como flags e tokens não numéricos são rejeitados.
Como a adição é associativa e comutativa sobre os reais (ou racionais embutidos como floats), reordenar p e q sob a operação add produz o mesmo resultado simplificado, enquanto a subtração se inverte ao trocar operandos.
O que você envia e o que recebe de volta
Envie dois arrays obrigatórios sob os campos p e q. Cada entrada deve ser um número finito representando o coeficiente de x elevado ao seu índice, com índice zero o termo constante. Opcionalmente envie op como add ou sub; o padrão é add.
Checagens clássicas: p igual a um, dois, três e q igual a três, zero, um com add produz quatro, dois, quatro que é quatro mais dois x mais quatro x ao quadrado; as mesmas listas com sub produzem menos dois, dois, dois. Exemplos de cancelamento como p igual a um, um e q igual a um, um com sub produzem o polinômio zero como um único zero. O comprimento da lista é limitado a dez mil coeficientes por polinômio para que cargas multi-megabyte acidentais não travem um worker compartilhado.
Onde adição e subtração de polinômios aparecem no trabalho real
Álgebra do ensino médio e superior atribui constantemente exercícios de combinar termos semelhantes, reescritas em forma padrão e «some estes dois polinômios»; um único oráculo confiável que devolve tanto o vetor de coeficientes quanto uma expressão legível acelera a correção e a preparação de demos. Tarefas de álgebra computacional frequentemente começam com adição densa antes de alunos conhecerem mapas monômio esparsos ou anéis multivariados, de modo que uma calculadora densa honesta combina com a primeira unidade de muitos programas sem fingir ser um CAS completo.
Problemas de maratonas de programação e aquecimentos de entrevista escondem adição de polinômios sob funções geradoras, núcleos FIR de sinal e recorrências de contagem de caminhos onde dois arrays de coeficientes devem ser somados antes de transformações posteriores. Cadernos de dados e ciência combinam modelos de tendência polinomial ou polinômios característicos de estágios adjacentes de pipeline e precisam de um corte determinístico de zeros iniciais em vez de um bug silencioso de coerção de tipos.
Se mais tarde precisar de multiplicação de polinômios, divisão com resto, avaliação em um ponto ou busca de raízes para quadráticas e cúbicas, trate-os como intenções de busca e landings separados em vez de sobrecarregar esta página de calculadora de adição de polinômios.
Casos de uso
Chaves de combinar termos semelhantes
Gere listas de coeficientes simplificadas e expressões imprimíveis para exercícios de livro p±q para que professores e autoavaliadores compartilhem uma verdade de referência.
Pipelines de funções geradoras e FIR
Some ou subtraia arrays densos de coeficientes em código de concurso e cadernos de sinal sem reescrever à mão a lógica de preenchimento e zip cada vez.
Perguntas frequentes
Em que ordem estão os coeficientes?
Potências ascendentes: o índice 0 é o termo constante, o índice 1 o coeficiente de x, o índice 2 de x², e assim por diante. Exemplo: [1, 2, 3] significa 1 + 2x + 3x².
O que acontece com graus diferentes?
A lista mais curta é tratada como preenchida com zeros no extremo de grau alto. Após a operação, zeros finais são removidos para que o grau do resultado seja exato.
E se um coeficiente não for um número?
Cada coeficiente deve ser um número finito; NaN, Infinity e strings não numéricas são rejeitados e não cobrados.
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
O que acontece se os dois polinômios se anulam?
Você obtém o polinômio nulo, mostrado como um único 0. Por exemplo, subtrair 1 + x de 1 + x não deixa nada, e os zeros que sobram nas potências mais altas são sempre removidos do resultado.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"p":[1,2,3],"q":[3,0,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"p": [
1,
2,
3
],
"q": [
3,
0,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"p": [
1,
2,
3
],
"q": [
3,
0,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"p":[1,2,3],"q":[3,0,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"p":[1,2,3],"q":[3,0,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-add", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"p": [
1,
2,
3
],
"q": [
3,
0,
1
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_add",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Coeficientes não numéricos, listas vazias e valores NaN ou Infinity falham com erro invalid_input claro para que pipelines nunca tratem lixo como zero em silêncio. O preço de chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Como adição e subtração de polinômios funcionam nas listas de coeficientes
Entradas idênticas sempre produzem JSON idêntico: não há semente aleatória, nem relógio, nem chamada de rede no caminho.
O que você envia e o que recebe de volta
Aliases curtos como plus, sinal de mais, subtract e minus são aceitos e normalizados. Arrays ausentes, arrays vazios, coeficientes não numéricos, NaN e Infinity falham com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso a resposta ecoa p e q limpos com seus próprios zeros finais removidos, o op normalizado, o array resultado simplificado, graus do resultado e de ambas as entradas, strings de expressão imprimíveis para os três polinômios, e um operation_label de p mais q ou p menos q para distintivos de interface. O preço de chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde adição e subtração de polinômios aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Casos de integração
Widgets de currículo e fixtures de API
Dirija o mesmo contrato add/sub a partir de um formulário gratuito do navegador e de suites de regressão para que demos nunca divirjam da saída API faturada.
Perguntas técnicas
Como subtraio em vez de somar?
Defina op como "sub" (aliases: subtract, minus, -). O op padrão é "add". O operation_label da resposta reflete p + q ou p − q.