Composition de polynômes

Un calculateur de composition de polynômes construit le composé développé f(g(x)) à partir de deux listes de coefficients. Saisissez le polynôme extérieur f et l'intérieur g avec le terme constant en premier—ainsi [1, 2, 1] signifie 1 + 2x + x au carré et [0, 1] signifie x—et l'outil renvoie les coefficients de la composition après substitution de g dans f, regroupement des termes semblables, chaînes de polynômes lisibles, degrés formels de f, g et du composé, plus des notes de Horner étape par étape. Les contrôles de devoirs, la préparation d'examens, les valeurs attendues de kata de code et les démos de changement de variable ont besoin de la même expansion par substitution sans ouvrir un système d'algèbre informatique.

Ce que signifie f(g(x)) et comment ordonner les coefficients

La composition de fonctions pour les polynômes signifie la substitution : si f associe à une valeur u l'expression a0 plus a1 fois u plus a2 fois u au carré et des puissances plus élevées, et g associe à x l'expression b0 plus b1 fois x et des puissances plus élevées, alors f de g de x est le polynôme obtenu en remplaçant chaque occurrence de u dans f par l'expression complète de g de x, en développant les produits de puissances de g et en rassemblant les puissances semblables de x.

Le résultat est à nouveau un polynôme univarié dont le degré formel est le produit des degrés formels de f et g lorsque les deux sont positifs, ou zéro lorsque f est une constante non nulle, ou moins un pour le polynôme zéro. Cet outil utilise la convention terme-constant-en-premier qui domine la programmation et les bibliothèques numériques : le tableau [a0, a1, a2, …, am] représente a0 plus a1 fois x plus a2 fois x au carré, jusqu'à am fois x à la m.

La même convention s'applique à g et au tableau de composition renvoyé. Le développement algébrique s'effectue avec la forme imbriquée de Horner a0 plus g fois (a1 plus g fois (a2 plus …)), de sorte que chaque étape multiplie le polynôme courant par g et ajoute le coefficient extérieur suivant—équivalent à développer f de g et combiner les termes semblables, mais avec moins de multiplications intermédiaires. Une liste de coefficients entièrement nulle est valide et représente le polynôme zéro de degré moins un.

Conseils pratiques, limites et recherches associées

Maintenez les magnitudes de coefficients dans la plage absolue publiée et préférez des degrés modestes pour que le produit des degrés reste bien en dessous du plafond de longueur du résultat. Les contrôles classiques en classe incluent f égal à x au carré avec g égal à un plus x donnant un plus deux x plus x au carré, f égal à deux plus trois x avec g égal à un moins x donnant cinq moins trois x, et composer avec l'identité g égal à x laissant f inchangé.

Cette page cible les personnes qui cherchent un calculateur de composition de polynômes, composer deux polynômes en ligne, développer f de g de x ou substituer un polynôme dans un autre ; ce n'est pas un composeur multivarié, ni un factoriseur, ni un chercheur de racines. Préférez cette capacité lorsque vous avez déjà les deux vecteurs de coefficients et n'avez besoin que du composé développé ; si votre source est une expression écrite, analysez d'abord les coefficients.

Lorsque vous n'avez besoin que du produit de deux polynômes sans substitution, utilisez plutôt un outil de multiplication dédié. Les contrôles aller-retour sont simples : recalculez à la main quelques coefficients de composition depuis Horner ou en développant des puissances de g et confirmez qu'ils correspondent au tableau composition publié dans le même arrondi à douze décimales.