Polynomkomposition
Setzen Sie ein Polynom in ein anderes ein und erhalten Sie das ausmultiplizierte Ergebnis: Mit f(x) = x² und g(x) = 1 + x ist f(g(x)) gleich 1 + 2x + x², vom Grad 2. Jeder Schritt wird gezeigt. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Ein Polynomkompositions-Rechner bildet das entwickelte Kompositum f(g(x)) aus zwei Koeffizientenlisten. Geben Sie das äußere Polynom f und das innere g mit dem konstanten Term zuerst ein—so bedeutet [1, 2, 1] 1 + 2x + x zum Quadrat und [0, 1] bedeutet x—und das Werkzeug liefert die Kompositionskoeffizienten nach Einsetzen von g in f, Zusammenfassen gleichartiger Terme, lesbare Polynomzeichenketten, formale Grade von f, g und des Kompositums sowie schrittweise Horner-Notizen. Hausaufgabenprüfungen, Examensvorbereitung, erwartete Werte für Coding-Kata und Demos zum Variablenwechsel brauchen dieselbe Substitutionsentwicklung ohne ein Computer-Algebra-System zu öffnen.
Was f(g(x)) bedeutet und wie Koeffizienten geordnet sind
Funktionskomposition bei Polynomen bedeutet Substitution: wenn f einem Wert u den Ausdruck a0 plus a1 mal u plus a2 mal u zum Quadrat und höhere Potenzen zuordnet und g dem x den Ausdruck b0 plus b1 mal x und höhere Potenzen zuordnet, dann ist f von g von x das Polynom, das man erhält, indem man jedes Vorkommen von u in f durch den gesamten Ausdruck für g von x ersetzt, Produkte von Potenzen von g ausmultipliziert und gleichartige Potenzen von x sammelt.
Das Ergebnis ist wieder ein univariates Polynom, dessen formaler Grad das Produkt der formalen Grade von f und g ist, sobald beide positiv sind, oder null wenn f eine von null verschiedene Konstante ist, oder minus eins für das Nullpolynom. Dieses Werkzeug nutzt die Konvention konstanter-Term-zuerst, die Programmierung und numerische Bibliotheken dominiert: das Array [a0, a1, a2, …, am] steht für a0 plus a1 mal x plus a2 mal x zum Quadrat bis am mal x hoch m. Dieselbe Konvention gilt für g und das zurückgegebene Kompositionsarray.
Die algebraische Entwicklung erfolgt mit der verschachtelten Horner-Form a0 plus g mal (a1 plus g mal (a2 plus …)), sodass jeder Schritt das laufende Polynom mit g multipliziert und den nächsten äußeren Koeffizienten addiert—gleichwertig dem Ausmultiplizieren von f von g und Zusammenfassen gleichartiger Terme, aber mit weniger Zwischenmultiplikationen. Eine durchweg nullte Koeffizientenliste ist gültig und stellt das Nullpolynom mit Grad minus eins dar.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Halten Sie Koeffizientenbeträge im veröffentlichten absoluten Bereich und bevorzugen Sie bescheidene Grade, damit das Produkt der Grade deutlich unter der Ergebnislängen-Obergrenze bleibt. Klassische Unterrichtsprüfungen umfassen f gleich x zum Quadrat mit g gleich eins plus x ergibt eins plus zwei x plus x zum Quadrat, f gleich zwei plus drei x mit g gleich eins minus x ergibt fünf minus drei x, und Komposition mit der Identität g gleich x lässt f unverändert.
Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn Sie bereits beide Koeffizientenvektoren haben und nur das entwickelte Kompositum brauchen; ist Ihre Quelle ein geschriebener Ausdruck, parsen Sie zuerst die Koeffizienten. Wenn Sie nur ein Produkt zweier Polynome ohne Substitution brauchen, nutzen Sie stattdessen ein dediziertes Multiplikationswerkzeug. Hin-und-zurück-Prüfungen sind einfach: berechnen Sie einige Kompositionskoeffizienten von Hand aus Horner oder durch Ausmultiplizieren von Potenzen von g und bestätigen Sie die Übereinstimmung mit dem veröffentlichten composition-Array innerhalb derselben Zwölf-Dezimal-Rundung.
Anwendungsfälle
Hausaufgabenprüfung zum Entwickeln von f(g(x))
Schüler geben äußere und innere Koeffizientenlisten aus Lehrbuch-Kompositionsaufgaben ein und vergleichen handentwickelte Komposita, Grade und lesbare Zeichenketten mit einem deterministischen Ergebnis vor dem Abgeben.
Demos zum Variablenwechsel in der Analysis-Vorbereitung
Pipelines setzen einen linearen oder quadratischen Variablenwechsel in ein äußeres Polynom höheren Grades ein, um Examensbeispiele ohne Computer-Algebra-Abhängigkeit zu bauen.
Häufige Fragen
Wie sind die Koeffizienten geordnet?
Konstanter Term zuerst: [a0, a1, a2] bedeutet a0 + a1·x + a2·x². Die Komposition nutzt dieselbe Reihenfolge von niedrig nach hoch.
Ist das Ergebnis f(g(x)) oder g(f(x))?
Immer f(g(x)): g wird in f eingesetzt. Tauschen Sie die beiden Arrays, wenn Sie die andere Reihenfolge brauchen.
Was passiert, wenn eine Liste leer ist?
Ein leeres Array ist fehlende Daten, nicht das Nullpolynom.
Was ist der Grad der Komposition?
Wenn beide formalen Grade positiv sind, gilt deg(f∘g) gleich deg(f)·deg(g). Konstanten und das Nullpolynom folgen den üblichen Algebra-Regeln.
Was passiert, wenn ich für g einfach x einsetze?
Dann bleibt f unverändert, denn das Einsetzen von x ändert nichts. Mit dieser Probe können Sie schnell kontrollieren, ob die Koeffizienten von f in der richtigen Reihenfolge eingegeben sind.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"f": [
1,
2,
1
],
"g": [
0,
1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"f": [
1,
2,
1
],
"g": [
0,
1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"f":[1,2,1],"g":[0,1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-composition", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"f": [
1,
2,
1
],
"g": [
0,
1
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_composition",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_coeffs | 64 |
max_result_coeffs | 1025 |
max_abs | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Leere Listen werden mit einem klaren invalid_input-Fehler abgelehnt, statt stillschweigend ein Nullpolynom zu erfinden.
Was f(g(x)) bedeutet und wie Koeffizienten geordnet sind
Leere Koeffizientenarrays sind unzulässig: leer ist fehlende Daten, nicht das Nullpolynom, und die API gibt invalid_input zurück, damit Hausaufgaben-Skripte und Bewertungspipelines laut scheitern.
Wie Sie die API aufrufen und was zurückkommt
Senden Sie einen JSON-Körper mit zwei erforderlichen nichtleeren Arrays endlicher Zahlen: f (Aliase outer, p, poly_f) für das äußere Polynom und g (Aliase inner, q, poly_g) für das innere Polynom, das in f eingesetzt wird. Jedes Array darf höchstens vierundsechzig Koeffizienten halten, und jeder absolute Koeffizientenwert muss innerhalb einer Billion bleiben, damit Zwischenprodukte in IEEE-Doppelgenauigkeit auf dem Worker und im Browser endlich bleiben. Das entwickelte Kompositum darf höchstens eintausendfünfundzwanzig Koeffizienten halten; Kompositionen, deren Gradprodukt diese Schranke überschreiten würde, werden vor Arbeitsbeginn abgelehnt. String-Zahlen werden akzeptiert, wenn sie einem strengen endlichen Zahlenmuster entsprechen; JSON-kodierte Array-Strings werden ebenfalls akzeptiert für Clients, die nur Textfelder senden. Bei Erfolg spiegelt die Antwort gerundetes f und g wider, setzt composition auf die vollständige entwickelte Koeffizientenliste (Konstante zuerst), degree_f, degree_g und degree auf die formalen Grade der Faktoren und des Kompositums, f_str, g_str und composition_str auf kompakte lesbare Polynome mit sinnvollen Vorzeichen und weggelassenen Einheitskoeffizienten, formula auf eine kurze englische Beschreibung der Horner-Komposition, message auf eine einzeilige Gradzusammenfassung und steps auf ein geordnetes Array von Substitutionszeilen, die Sie in Tests asserten können. Fehlgeschlagene Validierung—fehlende Felder, leere Arrays, Nicht-Arrays, nichtendliche Einträge, Listen länger als das veröffentlichte Maximum, Werte außerhalb absoluter Grenzen, zu große Ergebnisse oder nichtendliche Zwischenwerte—gibt invalid_input zurück und wird nie berechnet. Der Preis ist ein pauschales $0.002 pro erfolgreicher Anfrage mit Einheit item.
Praktische Tipps, Grenzen und verwandte Suchen
Bevorzugen Sie echte JSON-Arrays statt vorformatierter Strings, wenn Sie den Client steuern. Kombinieren Sie diese Erfolge mit leerem f oder leerem g, um den harten invalid_input-Pfad zu dokumentieren. Diese Landingseite richtet sich an Personen, die einen Polynomkompositions-Rechner, zwei Polynome online zusammensetzen, f von g von x entwickeln oder ein Polynom in ein anderes einsetzen suchen; es ist kein multivariater Kompositor, kein Faktorisierer und kein Nullstellensucher. Fehlgeschlagene Aufgaben mit invalid_input verbrauchen kein vorausbezahltes Guthaben, was Erkundungsskripte günstig hält, wenn Lernende absichtlich leere Listen senden.
Integrationsbeispiele
Unit-Tests für Schüler-Polynombibliotheken
Erzeugen Sie bekannte korrekte Kompositionsfälle plus absichtliche Ablehnungen leerer Listen für Coding-Kata-Sollwerte und Continuous-Integration-Fixtures.
Technische Fragen
Ist der Polynomkompositions-Rechner kostenlos?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und läuft lokal. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage; fehlgeschlagene Aufgaben werden nie berechnet.