Risolvere un sistema 2×2 di equazioni lineari
Le rette 2x + y uguale a 5 e x + 3y uguale a 7 si incontrano in (1,6; 1,8): il risolutore trova l’unica intersezione di due equazioni lineari con Cramer o per eliminazione e mostra il determinante, qui 5. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A11
- 2
- A12
- 1
- A21
- 1
- A22
- 3
- B1
- 5
- B2
- 7
- X
- 1,6
- Y
- 1,8
- Determinante
- 5
- Det. x
- 8
Un sistema lineare due per due è il più piccolo modello utile di equazioni simultanee: due incognite vincolate da due rette indipendenti. Gli studenti lo incontrano tracciando intersezioni, gli ingegneri bilanciando due forze o due maglie di circuito, e le pipeline di dati recuperando due parametri da due osservazioni indipendenti. Questa capacità risolve a11 x più a12 y uguale a b1 e a21 x più a22 y uguale a b2, restituendo la coppia unica x e y quando il determinante dei coefficienti è non nullo. Può scegliere la regola di Cramer, che costruisce tre determinanti due per due, o l'eliminazione di Gauss con pivot parziale, che riduce la matrice aumentata.
Cos'è un sistema lineare 2×2 e quando ha soluzione unica
Scriva il sistema in forma matriciale come A per il vettore colonna delle incognite uguale al vettore colonna delle costanti. La matrice dei coefficienti A contiene a11 e a12 sulla prima riga e a21 e a22 sulla seconda. Il suo determinante, a11 per a22 meno a12 per a21, è un solo numero che decide la geometria delle due rette nel piano.
Quando il determinante è non nullo le rette non sono parallele: si intersecano in esattamente un punto, e quell'intersezione è la soluzione unica (x, y). Quando il determinante è zero le righe di A sono linearmente dipendenti, così le rette sono parallele e non si incontrano mai (nessuna soluzione) oppure sono la stessa retta scritta due volte (infinite soluzioni). L'eliminazione raggiunge la stessa coppia azzerando la voce in basso a sinistra e retro-sostituendo.
Entrambi i metodi sono esatti per coefficienti floating-point ordinari entro la precisione di macchina, e sono abbastanza economici da eseguire interamente nel browser senza solutore remoto.
Uso pratico, prezzi, limiti e consegna
Usi lo strumento del browser quando vuole un'intersezione esatta immediata controllando compiti, preparando una diapositiva di lezione o depurando vincoli a due equazioni senza installare un sistema di algebra computazionale. Non c'è modello di linguaggio, né servizio esterno di algebra lineare, né casualità, così la capacità è sicura da fissare in controlli di integrazione continua e materiali di lezione riproducibili. I risultati sono pienamente deterministici: gli stessi coefficienti e metodo producono sempre le stesse x, y e determinante.
Preferisca la regola di Cramer quando vuole determinanti intermedi per la spiegazione; preferisca l'eliminazione quando insegna le operazioni di riga e vuole il percorso che si generalizza a sistemi più grandi. Mantenga i coefficienti entro magnitudini floating ordinarie affinché la cancellazione non domini; per interi di aula e scale di ingegneria tipiche il solutore è esatto entro la doppia precisione. Input e output di origine seguono le stesse regole di conservazione degli altri item parse di KIT, e un'attività fallita non viene mai addebitata dopo la validazione.
Casi d'uso
Verifica compiti e tutoraggio
Studenti e correttori confermano (x, y) per due equazioni lineari, inclusi i casi singolari che falliscono correttamente, senza installare un CAS locale.
Recupero di due parametri nelle pipeline
Script che adattano due incognite da due vincoli lineari indipendenti chiamano un oracolo 2×2 deterministico invece di reimplementare i determinanti in ogni linguaggio.
Domande frequenti
Qual è la differenza tra la regola di Cramer e l'eliminazione?
L'eliminazione riduce la matrice aumentata con pivot parziale. Entrambi restituiscono lo stesso (x, y) unico quando il sistema non è singolare.
Il solutore di sistemi 2×2 è gratis?
Lo strumento nel browser gira gratis sul suo dispositivo.
Può risolvere sistemi più grandi come 3×3?
No. Questa capacità è limitata a due equazioni in due incognite. Sistemi più grandi richiedono un'altra capacità o una libreria generale di algebra lineare.
Cosa succede se il determinante è zero?
Allora le due rette sono parallele o sono la stessa retta scritta due volte, quindi non esiste una soluzione unica. Il risolutore segnala che il sistema è singolare invece di inventare una coppia di valori.
Come risolve un sistema 2×2 la regola di Cramer?
Si sostituisce una colonna di coefficienti con i termini noti e si divide quel determinante per quello principale. Nell’esempio valgono 8 e 9 su un determinante di 5, cioè 1,6 e 1,8.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2 \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a11":2,"a12":1,"a21":1,"a22":3,"b1":5,"b2":7}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a11": 2,
"a12": 1,
"a21": 1,
"a22": 3,
"b1": 5,
"b2": 7
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_2x2",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
I sistemi singolari —rette parallele o coincidenti con determinante zero— vengono rifiutati con invalid_input invece di inventare una radice unica falsa.
Cos'è un sistema lineare 2×2 e quando ha soluzione unica
In entrambi i casi singolari questa API rifiuta di inventare una coppia unica e fallisce con invalid_input, rispettando la promessa della descrizione del prodotto. La regola di Cramer sfrutta direttamente il caso di determinante non nullo: sostituisca la prima colonna di A con le costanti per ottenere det_x, sostituisca la seconda per ottenere det_y, poi imposti x uguale a det_x su det e y uguale a det_y su det.
Come chiamare il solutore e leggere la risposta
Facoltativamente imposti method su cramer (il predefinito) o elimination. Quando il valore assoluto del determinante dei coefficienti è minore di un epsilon stretto vicino a 1e-12, la richiesta fallisce anche con un messaggio che il sistema è singolare e non ha soluzione unica. In caso di successo la risposta include sempre x, y, determinant, method, un flag unique a true e un oggetto equations con stringhe di visualizzazione per entrambe le rette. La polvere numerica vicino allo zero viene pulita affinché goldens e demo leggibili restino stabili, mentre i reali non interi ordinari mantengono la piena doppia precisione. Invii un corpo JSON con i sei numeri obbligatori a11, a12, a21, a22, b1 e b2. Il motore valida che ogni coefficiente sia un numero finito; campi assenti, stringhe non numeriche e NaN o Infinity falliscono subito con invalid_input e non vengono addebitati. Se ha scelto la regola di Cramer, det_x e det_y sono inclusi così un'interfaccia didattica può mostrare i tre determinanti affiancati. Colleghi l'endpoint a script che già parlano JSON e hanno bisogno di un contratto stabile invece di reimplementare la logica di pivot in ogni linguaggio.
Uso pratico, prezzi, limiti e consegna
Usi l'API quando una piattaforma di tutoraggio, un sandbox di colloquio di codice, un taccuino di laboratorio di fisica o una pipeline di fogli di calcolo ha bisogno di JSON stabile per molti insiemi di coefficienti sotto un unico contratto. Ogni richiesta riuscita è una voce fatturabile a $0.002; le validazioni fallite e i sistemi singolari non consumano il saldo.
Casi di integrazione
Insegnare Cramer versus eliminazione
Le pagine di lezione possono cambiare metodo e mostrare det_x, det_y o il percorso di eliminazione così gli apprendisti collegano entrambi gli algoritmi alla stessa intersezione unica.
Domande tecniche
Come risolvo un sistema 2×2 di equazioni con questa API?
Invii JSON con a11, a12, a21, a22, b1 e b2 (e method opzionale). La risposta restituisce x, y, determinant e campi correlati quando esiste una soluzione unica.
Cosa succede se il sistema è singolare?
Quando il determinante dei coefficienti è zero (entro un epsilon stretto), la richiesta fallisce con invalid_input e non viene addebitata — non c'è soluzione unica.