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随伴行列(アジュゲート)計算機|adj(A)を無料でオンライン計算

行が(2, 1)と(1, 3)の行列なら、随伴行列の行は(3, −1)と(−1, 2)、行列式は5です。特異な行列も含め、32×32までのどんな正方行列にも使えます。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法 ウェブAPIメールTelegramアプリ 近日

処理はブラウザ内で完結します。ファイルは送信されません。無料でご利用いただけます。

正方行列の随伴行列(アジュゲート、古典的随伴とも呼ばれます)は、余因子行列の転置であり、各要素は1行と1列を削除して残った小行列の符号付き行列式です。逆行列とは異なり、随伴行列は特異行列を含むすべての正方行列に存在します。Aにadj(A)を掛けるとdet(A)に単位行列を掛けたものになるという恒等式が常に成り立つからです。2×2行列では有名な手順があります。対角成分を入れ替え、非対角成分の符号を反転するだけです。より大きな次数では、この計算機は小さなブロックには閉公式を、それ以外には部分ピボット付きLU分解を用いてすべての余因子小行列式を計算し、32×32まで対応します。有限の実数のネストした配列を送信すると、整形済みの随伴行列、行列式、特異性フラグ、使用された手法、簡潔な公式文字列が返されます。非正方、空、非数値、またはサイズ超過の入力は、誤った結果を黙って返すのではなく、明確な検証エラーで拒否されます。

随伴行列の計算方法

まず有限の実数からなるn×nの配列から始めます。この機能はまず構造を検証します。すべての行は行数と同じ長さの配列でなければならず、グリッドは空であってはならず、次数は32を超えてはいけません。

次に余因子から要素ごとにアジュゲートを構築します。余因子C[i][j]は、(−1)のi+j乗に、i行目とj列目を削除して残る小行列の行列式を掛けたものであり、随伴行列はその余因子行列の転置なので、adj(A)[i][j]はC[j][i]に等しくなります。

1×1行列ではadj([a])が[1]に等しいという規約が適用され、A·adj(A) = det(A)·Iという恒等式がスカラーの隅でも成り立つようになります。2×2の入力では余因子の構成はおなじみの入れ替えと符号反転のパターンに帰着し、[[a,b],[c,d]]の随伴行列は[[d,−b],[−c,a]]となるため、応答は厳密です。

より大きな次数では、各小行列式は3×3までのブロックには閉公式で、それ以降は部分ピボット付きLU分解で評価され、確率的なステップを用いずに決定論的で数値的に安定した計算を保ちます。要素は数値または数値文字列として到着し、NaNとInfinityは検証に失敗します。

随伴行列が実務で登場する場面

線形代数の授業では余因子とアジュゲートの演習が頻繁に課されます。随伴行列は行列式と逆行列を結ぶ橋であり、det(A)が非ゼロのとき、Aの逆行列はadj(A)をdet(A)で割ったものに等しいからです。完全なアジュゲートを返す信頼できるオラクルは、採点、デモ準備、解答キー生成を高速化します。

記号計算やコンピュータ代数の分野では、随伴行列は多項式環上の逆行列を表現したり、クラメールの公式(各解成分がadj(A)とbから導かれる行列式の比)などの恒等式を証明したりするために使われます。

幾何学やコンピュータグラフィックスでは、変換の左上ブロックのアジュゲートは非一様スケーリング下での法線ベクトルの輸送に関係し、エンジニアはコストの高い逆行列計算を試みる前に、A·adj(A) = det(A)·Iという恒等式を安価な一貫性チェックとして検証します。

ランク落ちの最小二乗法の事前確認では特異行列がよく現れ、随伴行列はそこでも定義されるため、逆行列が単に失敗する場面で安全な診断手段になります。オフラインワークシートとオンライン自動採点が一致し続けるからです。

後で行列式、逆行列、固有値、ランクが必要になった場合は、それらは別の検索意図とランディングページとして扱い、この随伴行列計算ページに過負荷をかけないでください。

宿題・試験の解答キー

教科書の2×2、3×3、小さなn×nの問題セットについてadj(A)、行列式、特異性フラグを生成し、教師と自動採点が1つの正解データを共有できます。

逆行列の導出とクラメールの公式

A⁻¹ = adj(A)/det(A)の分子として、また記号演習や証明チェッカーでクラメールの公式を動かすエンジンとしてadj(A)を取得します。

特異行列の診断

逆行列が存在しない場面でアジュゲートを計算し、コストの高い分解の前の事前チェックとして恒等式A·adj(A) = det(A)·Iを検証します。

随伴行列とアジュゲートの違いは何ですか?

この文脈では同じものです。余因子行列の転置であり、古典的随伴行列と呼ばれることもあります。複素行列上の別の対象である共役転置とは混同しないでください。

行列が特異な場合でも随伴行列は存在しますか?

はい。 アジュゲートは小行列とその行列式だけを必要とするため、すべての正方行列に対して定義されます。恒等式A·adj(A) = det(A)·Iは依然として成り立ち、特異行列では右辺が零行列になります。

行列が正方でない場合はどうなりますか?

余因子の構成にはすべての要素について行と列が必要なため、不揃いな行や行数と列数の不一致は、失敗した行を特定するメッセージとともに拒否されます。

行列の最大サイズはいくつですか?

n ≤ 32です。 各余因子小行列式は閉公式またはLU分解で評価され、授業やコンテスト規模のサイズは無料の解析パスで完全にカバーされます。

料金はいくらですか?

ブラウザツールは無料でローカル実行されます。無効な入力は課金されません。

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"matrix":[[2,1],[1,3]]}'
{
  "matrix": [
    [
      2,
      1
    ],
    [
      1,
      3
    ]
  ]
}
{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.adjoint_matrix",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

HTTPコード意味
401unauthorizedAPIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
402insufficient_balance残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
404unknown_type指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
429rate_limitedリクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

随伴行列の計算方法

すべての演算は純粋な浮動小数点コードであり、乱数シード、時刻、ネットワーク呼び出し、モデルドリフトがないため、同一の行列は常にバイト単位で同一のJSONを生成します。応答には、有効数字12桁で安定した丸めを施した整形済みの随伴行列、次数n、コンテキスト用に一度だけ計算された行列式、ブール値のis_singularフラグ、手法ラベル、および使用された余因子の恒等式を記した人間が読める公式文字列が含まれます。

送信する内容と返される内容

すべての行は同じ長さでなければならず、その長さは行数と等しく、行列が正方である必要があります。教科書の定番の確認例としては、行が2,1と1,3の2×2行列(随伴行列は[[3,−1],[−1,2]])、3×3の例[[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]](随伴行列は[[−24,18,5],[20,−15,−4],[−5,4,1]])、そして随伴行列が存在しA·adj(A)が零行列になる特異行列があります。matrixという必須フィールドを1つ送信します。有限の数値の行からなるネストしたJSON配列(古典的な2×2の例なら2,1と1,3のような形)、または同じネスト配列をエンコードしたJSON文字列です。matrixの欠落、配列でない形状、不揃いな行、非数値セル、NaN、Infinity、空のグリッド、32×32を超える次数はinvalid_inputで失敗し、課金されません。成功時の応答には、整形済みの入力行列、整数の次数n、同じ形状のネスト配列としての随伴行列、行列式、is_singularフラグ、trivial_1x1、cofactor_closed_2x2、cofactor_minors_luのいずれかのmethod、およびadj(A)が余因子行列の転置でありA·adj(A) = det(A)·Iが成り立つことを示す短い公式文字列が含まれます。API呼び出し成功時の料金は公開されている1件あたり$0.002の基本料金で、検証失敗はプリペイド残高を消費しません。

随伴行列が実務で登場する場面

この機能は純粋な解析エンジンなので、API料金は成功1件あたり公開基本料金の$0.002で、検証失敗は残高を消費しません。

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