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Calculatrice de matrice adjointe adj(A) en ligne

Pour la matrice de lignes (2, 1) et (1, 3), l'adjointe a pour lignes (3, −1) et (−1, 2) et le déterminant vaut 5. Elle s'obtient pour toute matrice carrée jusqu'à 32 sur 32, singulières comprises. Gratuit dans votre navigateur.

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L'adjointe d'une matrice carrée, aussi appelée comatrice transposée ou adjointe classique, est la transposée de sa matrice des cofacteurs : chaque coefficient est un déterminant signé de la sous-matrice obtenue en supprimant une ligne et une colonne. Contrairement à l'inverse, l'adjointe existe pour toute matrice carrée, y compris les singulières, car l'identité A fois adj(A) égale det(A) fois l'identité est toujours vérifiée. Pour une matrice deux par deux, la recette est célèbre : échangez les coefficients diagonaux et changez le signe des autres. Pour les ordres supérieurs, ce calculateur évalue chaque mineur avec des formules fermées pour les petits blocs et une factorisation LU avec pivot partiel pour les autres, jusqu'à trente-deux par trente-deux. Envoyez un tableau imbriqué de nombres réels finis et recevez l'adjointe corrigée, le déterminant, un indicateur de singularité, la méthode utilisée et une courte formule lisible. Les entrées non carrées, vides, non numériques ou trop grandes sont rejetées avec une erreur de validation claire plutôt qu'un résultat silencieusement faux.

Comment l'adjointe est calculée

Partez d'un tableau n par n de nombres réels finis. Le service valide d'abord la structure : chaque ligne doit être un tableau dont la longueur égale le nombre de lignes, la grille ne doit pas être vide et la dimension ne doit pas dépasser trente-deux. L'adjointe est ensuite construite coefficient par coefficient à partir des cofacteurs.

Le cofacteur C[i][j] vaut (−1) élevé à la puissance i plus j, multiplié par le déterminant du mineur restant après suppression de la ligne i et de la colonne j, et l'adjointe est la transposée de cette matrice des cofacteurs, donc adj(A)[i][j] égale C[j][i]. Pour une matrice un par un, la convention adj([a]) égale [1] est appliquée, ce qui maintient l'identité A fois adj(A) égale det(A) fois I vraie même dans le cas scalaire.

Pour les entrées deux par deux, la construction des cofacteurs se réduit au schéma familier d'échange et de changement de signe : l'adjointe de [[a,b],[c,d]] est [[d,−b],[−c,a]], donc la réponse est exacte. Pour les ordres supérieurs, chaque mineur est évalué avec des formules fermées pour les blocs jusqu'à trois par trois et une factorisation LU avec pivot partiel au-delà, ce qui garantit une arithmétique déterministe et numériquement stable sans aucune étape probabiliste.

Les coefficients peuvent arriver sous forme de nombres ou de chaînes numériques ; NaN et Infinity échouent à la validation.

Où l'adjointe apparaît dans le travail réel

Les cours d'algèbre linéaire multiplient les exercices sur les cofacteurs et les comatrices, car l'adjointe est le pont entre déterminants et inverses : quand det(A) est non nul, l'inverse de A égale adj(A) divisée par det(A). Un oracle fiable qui renvoie l'adjointe complète accélère la correction des copies, la préparation des démonstrations et la génération de corrigés.

Le calcul symbolique et formel utilise l'adjointe pour exprimer des inverses sur des anneaux de polynômes et pour prouver des identités comme la règle de Cramer, où chaque composante de la solution est un rapport de déterminants issus de adj(A) fois b.

En géométrie et en infographie, l'adjointe du bloc supérieur gauche d'une transformation est liée au transport des vecteurs normaux sous une mise à l'échelle non uniforme, et les ingénieurs vérifient l'identité A fois adj(A) égale det(A) fois I comme test de cohérence peu coûteux avant une inversion plus onéreuse. Les matrices singulières sont fréquentes dans les pré-vérifications de moindres carrés déficientes en rang, et l'adjointe y reste bien définie, ce qui en fait un diagnostic sûr là où une inverse échouerait simplement.

Si vous avez ensuite besoin de déterminants, d'inverses, de valeurs propres ou de rang, traitez-les comme des intentions de recherche et des pages d'atterrissage distinctes plutôt que de surcharger cette page de calcul d'adjointe.

Cas d’usage

Corrigés de devoirs et d'examens

Générez adj(A), déterminants et drapeaux de singularité pour des séries de manuels 2×2, 3×3 et petites n×n afin qu'enseignants et correcteurs automatiques partagent une même référence.

Dérivation de l'inverse et règle de Cramer

Obtenez adj(A) comme numérateur de A⁻¹ = adj(A)/det(A) et comme moteur de la règle de Cramer dans les exercices symboliques et les vérificateurs de preuves.

Diagnostic des matrices singulières

Calculez l'adjointe là où une inverse n'existe pas et vérifiez l'identité A·adj(A) = det(A)·I comme contrôle préalable avant des factorisations plus coûteuses.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre adjointe et comatrice transposée ?

Dans ce contexte, il s'agit de la même chose : la transposée de la matrice des cofacteurs, parfois appelée adjointe classique. Il ne faut pas la confondre avec la transposée conjuguée, qui est un objet différent pour les matrices complexes.

L'adjointe existe-t-elle si la matrice est singulière ?

Oui. L'adjointe est définie pour toute matrice carrée car elle ne requiert que des mineurs et leurs déterminants. L'identité A·adj(A) = det(A)·I reste vérifiée ; pour les matrices singulières, le membre de droite est la matrice nulle.

Que se passe-t-il si la matrice n'est pas carrée ?

La construction des cofacteurs exige une ligne et une colonne pour chaque coefficient, donc les lignes irrégulières ou les nombres de lignes et de colonnes inégaux sont rejetés avec un message nommant la ligne en cause.

Quelle est la taille maximale d'une matrice ?

n ≤ 32. Chaque mineur est évalué avec des formules fermées ou une factorisation LU ; les tailles usuelles en classe et en concours sont entièrement couvertes par le parcours d'analyse gratuit.

Combien cela coûte-t-il ?

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Outils associés

Pour les développeurs — accès API

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curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix \
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const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", {
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      [
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const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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            3
        ]
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)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", false, stream_context_create([
  "http" => [
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$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[2,1],[1,3]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/adjoint-matrix", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "matrix": [
    [
      2,
      1
    ],
    [
      1,
      3
    ]
  ]
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.adjoint_matrix",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

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par requête$0.002

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Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Comment l'adjointe est calculée

Toute l'arithmétique est du code pur en virgule flottante, sans graine aléatoire, sans horodatage, sans appel réseau et sans dérive de modèle : des matrices identiques produisent toujours un JSON identique à l'octet près. La réponse fournit l'adjointe corrigée avec un arrondi stable à douze chiffres significatifs, la dimension n, le déterminant calculé une fois pour le contexte, un drapeau booléen is_singular, l'étiquette de méthode et une chaîne de formule lisible rappelant l'identité des cofacteurs utilisée.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

Chaque ligne doit avoir la même longueur, et cette longueur doit égaler le nombre de lignes pour que la matrice soit carrée. Les vérifications classiques des manuels incluent la matrice deux par deux de lignes deux un et un trois dont l'adjointe est [[3,−1],[−1,2]], l'exemple trois par trois [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]] dont l'adjointe est [[−24,18,5],[20,−15,−4],[−5,4,1]], et une matrice singulière dont l'adjointe existe toujours et vérifie A fois adj(A) égal à la matrice nulle. Envoyez un champ obligatoire nommé matrix : soit un tableau JSON imbriqué de lignes de nombres finis, par exemple deux virgule un puis un virgule trois pour le cas classique deux par deux, soit une chaîne JSON encodant ce même tableau imbriqué. Une matrice absente, des formes non tabulaires, des lignes irrégulières, des cellules non numériques, NaN, Infinity, des grilles vides et des dimensions supérieures à trente-deux par trente-deux échouent avec invalid_input et ne sont pas facturées. En cas de succès, la réponse renvoie la matrice d'entrée corrigée, la dimension entière n, l'adjointe sous forme de tableau imbriqué de même forme, le déterminant, un drapeau is_singular, la méthode parmi trivial_1x1, cofactor_closed_2x2 ou cofactor_minors_lu, et une courte chaîne de formule rappelant que adj(A) est la transposée de la matrice des cofacteurs et que A fois adj(A) égale det(A) fois l'identité. La tarification des appels API réussis est la base publiée de $0.002 par élément ; les échecs de validation ne consomment pas de solde prépayé.

Où l'adjointe apparaît dans le travail réel

Comme ce service est un moteur d'analyse pur, la tarification API est la base publiée de $0.002 par élément réussi et une validation échouée ne consomme pas de solde.

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