نظام 2×2 بالتعويض
مع 2x + y يساوي 5 وx − y يساوي 1، يعطي عزل x العبارة 2.5 ناقص 0.5y، ويقود التعويض إلى النقطة (2, 1). ويعرض الحلال كل خطوة وينبّه عندما يتطابق المستقيمان أو لا يلتقيان. مجانا في متصفحكم.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- A1
- 2
- B1
- 1
- C1
- 5
- A2
- 1
- B2
- -1
- C2
- 1
- الحالة
- unique
- المتغير المعزول
- x
- معزول من المعادلة
- 1
- معزول بدلالة
- y
النظام الخطي بمعادلتين ومجهولين هو العمود الفقري للجبر التمهيدي ولكثير من التحققات الهندسية التي ما زالت تؤول إلى مستقيمين في المستوى. تعزل طريقة التعويض متغيرًا من إحدى المعادلتين، وتضع ذلك المقدار في المعادلة الأخرى، وتحل المعادلة الناتجة بمتغير واحد، ثم تعوّض عائدًا لاستعادة القيمة الثانية. تقبل هذه القدرة المعاملات الستة لـ a1*x + b1*y = c1 وa2*x + b2*y = c2، وتبيّن أي متغير عُزل ومن أي معادلة، وتعيد إما زوج الحل الوحيد أو راية واضحة للنظام المتعلّق أو المتناقض حين ينطبق المستقيمان أو لا يلتقيان.
ما الذي تفعله طريقة التعويض
التعويض إحدى الطرائق اليدوية الكلاسيكية الثلاث لنظام خطي 2×2، إلى جانب الحذف والرسم البياني. تختار معادلة ومتغيرًا معامله غير صفري، وتحل تلك المعادلة للمتغير المختار كمقدار خطي في المتغير الآخر، وتستبدل كل ظهور للمتغير المختار في المعادلة الباقية، وتحل المعادلة الخطية الوحيدة الناتجة. وحالما يُعرف المتغير الثاني، تعوّضه عائدًا في مقدار العزل لتحصل على الأول.
جبريًا تطابق النتيجة قاعدة كرامر والحذف الغاوسي: حين يكون المحدّد a1*b2 − a2*b1 غير صفري توجد نقطة تقاطع واحدة بالضبط؛ وحين يكون صفرًا يكون المستقيمان متوازيين أو متطابقين. في حالة التطابق تكون كل نقطة على المستقيم حلًّا وتسمي الكتب النظام متعلّقًا؛ وفي حالة التوازي مع التمايز لا يوجد حل ويكون النظام متناقضًا. كثيرًا ما يفقد الطلاب إشارة عند العزل، أو يعوّضون في المعادلة ذاتها التي حلّوها للتو، أو يخطئون تصنيف المحدّد الصفري.
وأتمتة اختيار العزل والتعويض والتصنيف على معاملات منتهية موثقة تزيل تلك الهفوات مع كشف الآثار التعليمية — المتغير المعزول والمعادلة التي جاء منها ومقدار العزل — بحيث يحاكي حل الطالب خطوات الصف دون إعادة اشتقاق الحساب يدويًا في كل مرة.
أين تستخدمها وكم تكلّف
تشمل المواضع المعتادة التحقق من إجابات الطلاب التي تطلب خطوات التعويض والزوج النهائي، وتوليد مفاتيح حل تبيّن أي متغير عُزل أولًا، وتعليم هندسة المتعلّق مقابل المتناقض للمستقيمين المتطابقين أو المتوازيين، وتغذية زوج (x, y) وحيد في خط معالجة أكبر يحمل بالفعل المعاملات الستة من نموذج أو قياس. يعمل مسار المتصفح محليًا ولا يحتاج حسابًا. أبقِ القيم الست منتهية، وعامِل المتعلّق كحلول لامنتهية لا كخطأ، وعامِل المتناقض كلا حل لا كانهيار، وفضّل حقلي x وy المحسوبين في الخادم على إعادة الحل بمسار عائم مختلف في شفرة العميل.
ولأن النتيجة رياضيات خالصة حتمية، يمكنك اختبار خطوط المعالجة اختبارًا ذهبيًا على مجموعات معاملات ثابتة دون عتبات متقلبة أو ضوضاء تابعة للزمن.
حالات الاستخدام
تمارين المتعلّق مقابل المتناقض
مرّر صفوف معاملات متناسبة أو متناقضة وتحقق من الحالة dependent أو inconsistent مع راية dependent للحلول اللامنتهية.
نصوص المعلّم ودفتر الدرجات
مرّر أنظمة 2×2 كثيرة دفعةً عبر الواجهة، واحفظ الطريقة وبيانات العزل وحقول الحل بجانب معرّف كل عنصر.
الأسئلة الشائعة
ماذا تعني راية dependent؟
تكون dependent صحيحة حين تمثّل المعادلتان المستقيم نفسه (حلول لامنتهية). عندها x وy فارغان null والحالة "dependent". أما المستقيمان المتوازيان المتمايزان فيأخذان الحالة "inconsistent" مع dependent خطأ.
أي متغير يُعزل أولًا؟
يفضّل المحرك المعادلة 1 وx حين يكون a1 غير صفري، ثم y من المعادلة 1، ثم x أو y من المعادلة 2. والاختيار حتمي لأجل الاختبارات الذهبية ومفاتيح التعليم.
كيف تعمل طريقة التعويض؟
اعزلوا متغيرا من إحدى المعادلتين، وعوّضوا العبارة في المعادلة الأخرى، وحلّوا المعادلة ذات المجهول الواحد، ثم عوّضوا عكسيا. في المثال يصبح x مساويا 2.5 ناقص 0.5y، والحل (2, 1).
ماذا يعني أن النظام غير متسق؟
يعني أن المستقيمين متوازيان ومختلفان، فلا يلتقيان أبدا ولا يوجد حل. ويعرض الحلال ذلك نتيجة لا خطأ، كما يعرض المستقيمين المتطابقين على أن لهما عددا لا نهائيا من الحلول.
هل تعطي طريقة التعويض وطريقة الحذف النتيجة نفسها؟
نعم. التعويض والحذف وقاعدة كرامر تتفق دائما: إذا كان المحدد غير صفري فهناك نقطة تقاطع واحدة، وإذا كان صفرا فالمستقيمان متوازيان أو متطابقان.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2-substitution \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2-substitution", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2-substitution",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2-substitution", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2-substitution", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.system_2x2_substitution",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
المسار حساب رياضي حتمي خالص في الـ Worker ومجاني في أداة المتصفح، دون أي نداء نموذج ولا بحث خارجي.
كيف تحسب هذه القدرة الجواب
يصنّف النظام عبر محدّد المعاملات ومعينات الاتساق للمصفوفة الموسّعة، فيعطي الحالة unique أو dependent أو inconsistent. وحين تكون الحالة unique يعيد x وy عدديين من الصورة المغلقة المكافئة (نتيجة التعويض). وحين تكون الحالة dependent أو inconsistent يظل يبلّغ بيانات العزل حين يوجد معامل غير صفري، ويضبط dependent صحيحًا فقط لحالة الحلول اللامنتهية، ويعيد null لـ x وy. ترسل جسم JSON يحوي ستة أعداد منتهية مطلوبة: a1 وb1 وc1 للمعادلة الأولى a1*x + b1*y = c1، وa2 وb2 وc2 للمعادلة الثانية a2*x + b2*y = c2. يقبل المحرك أعداد JSON أو سلاسل رقمية بسيطة، ويرفض الحقول المفقودة والقيم المنطقية والكائنات والقيم غير المنتهية بخطأ invalid_input، ولا يحاسب أبدًا على إخفاقات التحقق تلك. وللعزل يفضّل المعادلة 1 والمتغير x كلما كان المعامل المقابل غير صفري، ثم المعادلة 1 وy، ثم المعادلة 2 وx، ثم المعادلة 2 وy — كي تنتج المعاملات ذاتها دائمًا الحقول ذاتها isolated_variable وisolated_from_equation وisolated_in_terms_of وisolated_expression. لا عشوائية ولا ساعة ولا شبكة؛ فالمدخلات المتطابقة تعطي دائمًا JSON متطابقًا. العمل حفنة من الضرب والقسمة، تقع ضمن نموذج التكلفة التحليلي لهذه القدرة من فئة parse بسعر $0.002 لكل طلب ناجح.
أين تستخدمها وكم تكلّف
استخدم أداة المتصفح المجانية لتحقق واجب واحد أو عرض صفّي، أو نادِ الواجهة البرمجية حين يلزم دفتر درجات أو نص معلّم أو مولّد أوراق عمل أو دفتر هندسي أن يحل أنظمة 2×2 كثيرة بالطريقة ذاتها في كل مرة. يخصم استخدام الواجهة البرمجية من رصيد KIT المدفوع مسبقًا بالسعر المنشور $0.002 لكل طلب ناجح؛ ولا يستهلك فشل التحقق رصيدًا.
حالات التكامل
مفاتيح الواجبات والامتحانات
تأكيد الحل الوحيد للطالب واختيار العزل لـ a1,b1,c1,a2,b2,c2 على (x, y) مرجعي واحد وisolated_expression.
أسئلة تقنية
كيف أحل نظام 2×2 بالتعويض بهذه الواجهة البرمجية؟
أرسل JSON بطريقة POST يحوي أعدادًا منتهية a1 وb1 وc1 وa2 وb2 وc2 لـ a1*x+b1*y=c1 وa2*x+b2*y=c2. تتضمن الاستجابة حقول العزل وإما x وy وحيدين أو حالة dependent/inconsistent.
هل حاسبة التعويض 2×2 مجانية؟
أداة المتصفح مجانية وتعمل محليًا. أما نداءات الواجهة البرمجية فتستخدم رصيد KIT المدفوع مسبقًا بالسعر المنشور $0.002؛ ولا يُحاسب على المدخلات غير الصالحة.
هل النتيجة واحدة دائمًا للمعاملات نفسها؟
نعم. الخوارزمية رياضيات تحليلية خالصة دون عشوائية ولا طوابع زمنية، فتنتج المدخلات المتطابقة JSON متطابقًا بما فيه بيانات العزل.