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代入法で解く 2×2 連立方程式

2x + yが5、x − yが1のとき、xについて解くと2.5 − 0.5yとなり、代入すると交点(2, 1)が得られます。各手順を示し、直線が一致する場合や交わらない場合も知らせます。ブラウザで無料で使えます。

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  • 登録不要
  • データは端末の外に出ません
ご利用方法 ウェブAPIメールTelegramアプリ 近日
入力した場合
A1
2
B1
1
C1
5
A2
1
B2
-1
C2
1
結果
状態
unique
分離した変数
x
分離元の式
1
他方の変数
y

2 つの方程式と 2 つの未知数からなる一次連立方程式は、初等代数の土台であり、平面上の 2 直線に帰着する多くの工学的な確認の土台でもあります。代入法は一方の方程式から一つの変数を分離し、その式をもう一方の方程式に代入し、得られた一変数の方程式を解き、次に元へ代入し戻して二つ目の値を復元します。本機能は a1*x + b1*y = c1 と a2*x + b2*y = c2 の 6 つの係数を受け取り、どの変数がどの方程式から分離されたかを示し、直線が一致するか決して交わらないときには唯一の解の組、または明確な従属もしくは不能のフラグを返します。

代入法が行うこと

代入法は、消去法やグラフによる方法と並ぶ、2×2 一次連立方程式の 3 つの古典的な手計算法の一つです。係数が 0 でない方程式と変数を選び、その方程式を選んだ変数についてもう一方の変数の一次式として解き、残りの方程式に現れる選んだ変数のすべてを置き換え、得られた単一の一次方程式を解きます。二つ目の変数が分かれば、それを分離の式に代入し戻して一つ目を得ます。

代数的には結果はクラメルの公式やガウスの消去法と一致します。行列式 a1*b2 − a2*b1 が 0 でないときは交点がちょうど一つあり、0 のときは 2 直線は平行または同一です。同一の場合は直線上のすべての点が解となり、教科書はこの連立方程式を従属と呼びます。

平行だが相異なる場合は解がなく、連立方程式は不能です。学習者はしばしば分離のときに符号を落とし、あるいはたった今解いた同じ方程式に代入し、あるいは 0 の行列式を誤分類します。

分離する変数の選択・代入・分類を検証済みの有限係数に対して自動化すれば、こうしたうっかりミスを取り除きつつ、教育上の成果物 — 分離された変数・その出所となった方程式・分離の式 — を提示し続けるので、毎回手で算術を導き直さなくても解答の記述が教室の手順をそのまま再現できます。

従属と不能の演習

比例的または矛盾した係数の行を与え、status が dependent か inconsistent か、および無限の解を示す dependent フラグを検証します。

dependent フラグは何を意味しますか?

dependent は 2 つの方程式が同じ直線を表す(解が無限)ときに true になります。x と y は null で、status は「dependent」です。平行で相異なる直線は status「inconsistent」で dependent は false になります。

どの変数が最初に分離されますか?

エンジンは a1 が 0 でないとき方程式 1 と x を優先し、次に方程式 1 の y、次に方程式 2 の x または y を選びます。

代入法はどのように解きますか?

一方の式を1つの変数について解き、その式をもう一方に代入して1変数の方程式を解き、最後に元の式へ戻して代入します。例ではxが2.5 − 0.5yとなり、解は(2, 1)です。

解なしの連立方程式とはどういう意味ですか?

2本の直線が平行で別々なので、決して交わらず解がありません。これはエラーではなく結果として示され、直線が一致する場合も無数の解として示されます。

代入法と消去法で答えは同じになりますか?

はい。代入法、消去法、クラメルの公式は常に一致します。行列式が0でなければ交点は1つ、0なら直線は平行か一致しています。

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2-substitution

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/system-2x2-substitution \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}'
{
  "a1": 2,
  "b1": 1,
  "c1": 5,
  "a2": 1,
  "b2": -1,
  "c2": 1
}
{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.system_2x2_substitution",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

HTTPコード意味
401unauthorizedAPIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
402insufficient_balance残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
404unknown_type指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
429rate_limitedリクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

本機能が答えを計算する方法

第一の方程式 a1*x + b1*y = c1 のための a1・b1・c1 と、第二の方程式 a2*x + b2*y = c2 のための a2・b2・c2 です。係数の行列式と拡大係数行列の整合性に関する小行列式によって連立方程式を分類し、unique・dependent・inconsistent のいずれかの status を生みます。status が unique のときは同値な閉形式(代入の結果)から数値の x と y を返します。status が dependent または inconsistent のときも、0 でない係数が存在すれば分離のメタデータを報告し、解が無限の場合にのみ dependent を true に設定し、x と y には null を返します。6 つの必須の有限の数を含む JSON ボディを送信します。エンジンは JSON の数値または単純な数値文字列を受け付け、欠落したフィールド、真偽値、オブジェクト、非有限の値を invalid_input として拒否し、これらの検証失敗には決して課金しません。分離については、対応する係数が 0 でない限り方程式 1 と変数 x を優先し、次に方程式 1 と y、次に方程式 2 と x、次に方程式 2 と y の順に選ぶので、同じ係数は常に同じ isolated_variable・isolated_from_equation・isolated_in_terms_of・isolated_expression のフィールドを生みます。乱数もクロックもネットワークもなく、同一の入力は常に同一の JSON を生みます。処理はわずかな乗算と除算であり、1 回の成功リクエストあたり $0.002 で価格設定されたこの tier-A の parse 機能の解析的コストモデルの内側に収まります。

どこで使うか、そして費用

典型的な用途には、代入の手順と最終的な組を求める学習者の答えを検証すること、どの変数が最初に分離されたかを示す解答キーを生成すること、一致する直線や平行な直線の従属と不能の幾何を教えること、そしてモデルや測定から得た 6 つの係数をすでに保持する大きなパイプラインへ唯一の (x, y) を供給することが含まれます。ブラウザーの経路はローカルで動作し、アカウントは不要です。1 回の宿題チェックや授業のデモには無料のブラウザーツールを使い、成績簿・チュータースクリプト・ワークシート生成器・工学ノートブックが多数の 2×2 連立方程式を毎回同じように解く必要があるときは API を呼び出してください。API の利用は、成功リクエストごとに公表された $0.002 の基本価格でプリペイドの KIT 残高から差し引かれ、検証に失敗しても残高は消費されません。6 つの値はすべて有限に保ち、dependent はエラーではなく無限の解として扱い、inconsistent はクラッシュではなく解なしとして扱い、クライアントのコードで別の浮動小数点の経路により解き直すよりもサーバーが計算した x と y のフィールドを優先してください。

宿題と試験の解答キー

a1,b1,c1,a2,b2,c2 についての学習者の唯一の解と分離の選択を、一つの正準的な (x, y) と isolated_expression に照らして確認します。

チューターと成績簿のスクリプト

多数の 2×2 連立方程式を API で一括処理し、各項目の id の隣に method・分離のメタデータ・解のフィールドを保存します。

この API で 2×2 連立方程式を代入法でどのように解きますか?

a1*x+b1*y=c1 と a2*x+b2*y=c2 のための有限の数 a1・b1・c1・a2・b2・c2 を JSON で POST します。レスポンスには分離のフィールドと、唯一の x,y または dependent/inconsistent の status のいずれかが含まれます。

2×2 代入法の計算ツールは無料ですか?

ブラウザーのウィジェットは無料でローカルに動作します。API 呼び出しは公表された $0.002 の基本価格でプリペイドの KIT 残高を使い、無効な入力には課金されません。

同じ係数に対して結果は常に同じですか?

はい。アルゴリズムは乱数もタイムスタンプもない純粋な解析的数学なので、同一の入力は分離のメタデータを含め同一の JSON を生みます。

KITの完全なドキュメントを見る →