連立方程式ソルバー
2本の直線がただ1点で交わる位置を求めます。2x + y が5、x − y が1の2直線は点 (2, 1) で交わり、3つの行列式からクラメルの公式で計算します。ブラウザで無料で使えます。
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- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- A1
- 2
- B1
- 1
- C1
- 5
- A2
- 1
- B2
- -1
- C2
- 1
- X
- 2
- Y
- 1
- 行列式
- -3
- Det x
- -6
二つの一次方程式からなる系は、平面上の二直線が交わるただ一つの点 (x, y) を求めます。第一の直線を a1 x たす b1 y が c1、第二を a2 x たす b2 y が c2 と書き、その六つの有限係数を送ってください。本連立方程式計算機はクラメルの公式を用います。係数行列式 D は a1 かける b2 ひく b1 かける a2、Dx は x 列を定数で置き換え、Dy は y 列を置き換え、D が零でないとき一意解は x が Dx わる D、y が Dy わる D です。
二元連立とは何か、いつ一意の (x, y) があるか
二つの未知数を持つ一次方程式は直線を表します。そのような式が二つそろうと連立方程式になり、両方の恒等式を同時に満たす対 (x, y) が解です。グラフでは二直線の交点です。
傾きが異なればちょうど一点で交わり、その点が本計算機の返す一意解です。傾きが同じなら、別々の直線としては決して交わらないか、同一直線として重なります。どちらの平行ケースでも係数行列式 a1 b2 ひく b1 a2 は零で、一意の対は存在しません。
授業ではまずグラフ、次に消去法や代入法、その後にここで用いる閉形式であるクラメルの公式に出会います。係数行列の第一列を右辺で置き換えて Dx、第二列を置き換えて Dy を得て、各小行列式を行列式で割ります。代数的な結果は消去法・代入法と同じで、書く手順だけが違います。
本ページは一般検索「連立方程式」向けです。ワークシート、実験ノート、二元モデルから六つの数がすでにあり、名前付き手法を選ばずに一意の x と y が欲しい場合に使います。代入法の途中経過や 3×3 のクラメル表が必要なら、その専用ページをご利用ください。
ここでの契約はより小さく厳格です。一意解か、型付きエラーかです。多くの採点器やスクリプトが二直線を扱う仕方と同じで、一点か、「直線は平行です」と生徒に示せる明確な失敗かを求めます。
入力契約、クラメルの公式、平行線が失敗する理由
第一式 a1 x たす b1 y が c1 の a1・b1・c1、第二式 a2 x たす b2 y が c2 の a2・b2・c2 です。エンジンは三つの 2×2 行列式を作ります。D は a1 b2 ひく b1 a2、Dx は c1 b2 ひく b1 c2、Dy は a1 c2 ひく c1 a2 です。
D の絶対値がごく小さな数値イプシロンより小さければ直線は平行とみなし、一意解がない（直線が平行であるため）というメッセージで要求を拒否します。この一つの誤りは、不一致（相異なる平行線、共有点なし）と従属（同じ直線を二度書いた、無限個の点）の両方を覆います。本能力は代表点を捏造せず、状態フラグ付きの成功オブジェクトも返しません。
一意解がないことは課金対象の成功ではなく、クライアント誤りです。D が十分に非零なら x は Dx わる D、y は Dy わる D です。応答はそれら二つを主結果としてエコーし、unique true、整形した三つの行列式、元の式の表示文字列二つ、クラメルの公式を述べる formula 欄を付けます。
数は十二桁に丸め、runtimes 間で goldens が安定します。
連立方程式計算機が役立つ場面
代数の教室やチューター基盤は、消去で符号を落としたり誤った変数を分離したりせずに二直線の交点を確認できるよう、連立方程式計算機を使います。試験ジェネレータには、平行な係数を一意解なしと印し、壊れた採点器が成功と誤認しうる空の対を黙って返さない決定的オラクルが必要です。二元モデルは教室の外にも広く現れます。
単純市場の需要と供給、二成分の混合問題、二つの電流に縮約したキルヒホッフループ、線形予測の対で費用と収益を等しくする損益分岐です。検証失敗は残高を消費しません。
六値を有限に保ち、零行列式を硬い誤りとして扱い、丸めた x と y をテストに固定すれば、宿題、LMS プラグイン、エッジ worker 向けに再現可能な交点が得られ、自前の記号計算基盤は不要です。未知数が一つのときは単一一次方程式ソルバーと、第三の変数が出たときは 3×3 ソルバーと組み合わせてください。
活用例
教室と宿題の確認
生徒に二つの一次方程式の六係数を送らせ、一意の (x, y) を確認させるか、行列式が零のときに平行線の明確な誤りを見せます。
試験と LMS の自動採点
平行系を一意解なしとして拒み、交点を捏造しない決定的オラクルで、二元の設問を採点します。
ノート上の二元モデル
需要供給、混合、二ループ回路の系を、計算機代数ライブラリを取り込まず、測定した六係数から解きます。
よくある質問
二つの一次方程式の系を x と y についてどう解きますか？
第一式に有限数 a1, b1, c1、第二式に a2, b2, c2 を送ってください。
直線が平行なときはどうなりますか？
係数行列式が零なら直線は平行または一致し、一意解はなく、要求は課金されません。
どの形の方程式を使うべきですか？
標準形 a1 x + b1 y = c1 と a2 x + b2 y = c2 を使ってください。傾き切片形や点傾き形は、ソルバーを呼ぶ前にその六係数配置へ並べ替えてください。
三つの方程式の系も解けますか？
いいえ。 本ページは二元の連立方程式計算機です。三変数には専用の 3×3 ソルバーをご利用ください。ここでの契約はちょうど六係数と一意の (x, y) です。
クラメルの公式はどうやって x と y を求めますか？
2つの行列式を主の行列式で割ります。2x + y が5、x − y が1の連立では、主の行列式が−3、x 用が−6、y 用が−3なので、x は2、y は1になります。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/systems-of-equations \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/systems-of-equations", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/systems-of-equations",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/systems-of-equations", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a1":2,"b1":1,"c1":5,"a2":1,"b2":-1,"c2":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/systems-of-equations", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a1": 2,
"b1": 1,
"c1": 5,
"a2": 1,
"b2": -1,
"c2": 1
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.systems_of_equations",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
D が零なら直線は平行または一致し、一意の交点はなく、点を捏造せず invalid_input で失敗します。成功した API 呼び出しは $0.002 で課金され、検証失敗は課金されません。
入力契約、クラメルの公式、平行線が失敗する理由
必須の有限数六つを含む JSON 本体を POST してください。各欄は JSON 数、または十進・指数の数値文字列で届けられます。欠落欄、空文字、真偽値、オブジェクト、NaN、無限大は invalid_input と欄名を含むメッセージで失敗します。時計も乱数もネットワークもなく、同じ六係数は常に同じ JSON を生みます。
連立方程式計算機が役立つ場面
小さな parse API を呼べば、六係数のために計算機代数システム全体を引き込む必要はありません。実装は parse の tier A のため、成功した各呼び出しは公開された基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークもありません。
技術的な質問
連立方程式ソルバーの料金はいくらですか。
ブラウザ用具は無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに $0.002 で前払い KIT 残高を使い、無効な入力は課金されません。