2×2-System per Einsetzung

Ein lineares System aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ist das Rückgrat der einführenden Algebra und vieler technischer Kontrollen, die sich noch immer auf ein Paar Geraden in der Ebene zurückführen lassen. Das Einsetzungsverfahren isoliert eine Variable aus einer Gleichung, setzt diesen Ausdruck in die andere Gleichung ein, löst die daraus entstehende Gleichung in einer Variablen und setzt schließlich zurück, um den zweiten Wert zu gewinnen. Diese Fähigkeit nimmt die sechs Koeffizienten von a1*x + b1*y = c1 und a2*x + b2*y = c2 entgegen, zeigt, welche Variable aus welcher Gleichung isoliert wurde, und liefert entweder das eindeutige Lösungspaar oder eine klare Kennzeichnung als abhängig oder widersprüchlich, wenn die Geraden zusammenfallen oder sich nie schneiden.

Was das Einsetzungsverfahren leistet

Das Einsetzungsverfahren ist eines der drei klassischen Handverfahren für ein lineares 2×2-System, neben dem Additionsverfahren und dem grafischen Lösen. Sie wählen eine Gleichung und eine Variable mit einem von null verschiedenen Koeffizienten, lösen diese Gleichung nach der gewählten Variablen als linearen Ausdruck in der anderen Variablen auf, ersetzen jedes Vorkommen der gewählten Variablen in der verbleibenden Gleichung und lösen die daraus entstehende einzelne lineare Gleichung. Sobald diese zweite Variable bekannt ist, setzen Sie sie in den Isolationsausdruck zurück, um die erste zu erhalten.

Algebraisch stimmt das Ergebnis mit der cramerschen Regel und dem gaußschen Eliminationsverfahren überein: ist die Determinante a1*b2 − a2*b1 von null verschieden, gibt es genau einen Schnittpunkt; ist sie null, sind die beiden Geraden parallel oder identisch. Im identischen Fall ist jeder Punkt der Geraden eine Lösung, und Lehrbücher nennen das System abhängig; im parallelen, aber verschiedenen Fall gibt es keine Lösung, und das System ist widersprüchlich. Lernende verlieren oft ein Vorzeichen beim Isolieren, setzen in dieselbe Gleichung ein, die sie eben gelöst haben, oder klassifizieren eine Null-Determinante falsch.

Die automatische Wahl der Isolation, das Einsetzen und die Klassifikation gegen geprüfte endliche Koeffizienten beseitigen diese Fehler und legen zugleich die didaktischen Artefakte offen — die isolierte Variable, die Gleichung, aus der sie stammt, und den Isolationsausdruck —, sodass eine Lösungsdarstellung die Schritte aus dem Unterricht widerspiegeln kann, ohne die Arithmetik jedes Mal von Hand herzuleiten.

Wo Sie sie einsetzen und was sie kostet

Typische Einsätze sind das Prüfen von Schülerantworten, die nach den Einsetzungsschritten und dem finalen Paar fragen, das Erzeugen von Lösungsschlüsseln, die zeigen, welche Variable zuerst isoliert wurde, das Vermitteln der Geometrie abhängiger gegenüber widersprüchlicher, zusammenfallender oder paralleler Geraden sowie das Einspeisen eines eindeutigen (x, y) in eine größere Pipeline, die bereits die sechs Koeffizienten aus einem Modell oder einer Messung hält. Der Browser-Pfad läuft lokal und benötigt kein Konto.

Halten Sie alle sechs Werte endlich, behandeln Sie dependent als unendlich viele Lösungen statt als Fehler, behandeln Sie inconsistent als keine Lösung statt als Absturz und ziehen Sie die serverseitig berechneten Felder x und y dem erneuten Lösen mit einem anderen Gleitkomma-Pfad im Client-Code vor.