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Lineare Ungleichung (2 Variablen)

Q: Wie analysiert man eine lineare Ungleichung in zwei Variablen ax + by ⊙ c?

Senden Sie endliche a, b, c und einen Operator ( , >=).

Q: Wie zeichne ich 2x + y < 6?

Zeichnen Sie die Gerade, auf der 2x + y gleich 6 ist, gestrichelt, weil das Zeichen echt kleiner ist, und schraffieren Sie den Bereich darunter, also y < −2x + 6. Der Ursprung (0, 0) liefert 0 < 6, das stimmt, also liegt er im Lösungsbereich.

Q: Was passiert, wenn a und b beide null sind?

Dann beschreibt die Ungleichung weder eine Gerade noch eine Halbebene, deshalb lehnt der Rechner die Eingabe ab. Mindestens einer der beiden Koeffizienten vor x oder y muss von null verschieden sein.

Für 2x + y < 6 erhalten Sie die gestrichelte Randgerade, auf der 2x + y gleich 6 ist, die Halbebene unterhalb von y = −2x + 6 und den Ursprung als Testpunkt, der sie erfüllt. Prüfen Sie Ihre Skizze vor dem Schraffieren. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 2
B: 1
C: 6
Op: <

Erhalten Sie

Ungleichung: 2x + y < 6
Randgleichung: 2x + y = 6
Randstil: dashed
Testpunkt x: 0

Lineare Ungleichungen in zwei Variablen, etwa zwei x plus y kleiner als sechs, beschreiben Halbebenen in der Koordinatenebene statt einzelner Zahlen auf einer Geraden. Zum korrekten Zeichnen braucht man drei Entscheidungen, die Lernende, Tutorinnen und Automatisierungsskripte täglich treffen: die Grenzgerade aus dem Gleichheitsfall schreiben, gestrichelten Strich wählen wenn die Ungleichung streng ist oder durchgezogenen wenn sie inklusiv ist, und die Seite der Geraden schraffieren die die ursprüngliche Relation wahr macht. Dieser Rechner für lineare Ungleichungen in zwei Variablen nimmt endliche Koeffizienten a, b und c mit einem Vergleichsoperator entgegen, bildet die Grenzgleichung ax plus by gleich c, kennzeichnet den Grenzstil, löst nach y wenn möglich (oder nach x wenn die Grenze vertikal ist) und meldet die Halbebene mit einem Testpunkt der nicht auf der Geraden liegt. Entartete Fälle in denen a und b beide null sind werden als ungültige Eingabe abgelehnt weil sie keine Gerade definieren.

Grenzgerade, gestrichelt versus durchgezogen und Halbebenen-Geometrie

Eine lineare Ungleichung in zwei Variablen hat die Form a x plus b y verglichen mit c, wobei der Vergleich kleiner als, kleiner oder gleich, größer als oder größer oder gleich ist. Die zugehörige Gleichheit a x plus b y gleich c ist die Grenzgerade: jeder Punkt auf dieser Geraden macht beide Seiten gleich. Ist die ursprüngliche Relation streng (kleiner als oder größer als), erfüllen Punkte auf der Grenze die Ungleichung nicht, deshalb zeichnen Lehrbücher die Grenze gestrichelt.

Ist die Relation inklusiv (kleiner oder gleich oder größer oder gleich), sind Grenzpunkte Lösungen und die Grenze wird durchgezogen gezeichnet. Die Lösungsmenge ist dann eine der beiden offenen oder abgeschlossenen Halbebenen die durch diese Gerade bestimmt werden. Um zu entscheiden welche, löst man nach y wenn b ungleich null ist: man dividiert sorgfältig und kehrt die Ungleichung um wenn b negativ ist, und liest dann oberhalb oder unterhalb der Steigungs-Achsenabschnitts-Form der Grenze.

Wenn b null und a ungleich null ist, liegt die Grenze vertikal bei x gleich c durch a, und die Halbebene liegt links oder rechts von dieser Vertikalen nach derselben Umkehrregel falls a negativ ist. Eine praktische Kontrolle ist die Testpunktmethode: man wählt einen Punkt nicht auf der Grenze, oft den Ursprung, setzt ihn in a x plus b y ⊙ c ein und behält die Halbebene die den Punkt enthält nur wenn die Einsetzung wahr ist.

Diese Fähigkeit führt genau diese Analyse aus und liefert maschinenlesbare Felder für Grenzgleichung, Grenzstil, Halbebenenseite und Testpunkt, damit Clients Graphen rendern oder Schülerarbeiten bewerten können ohne die Geometrie neu abzuleiten.

Anwendungsfälle

Graphikprüfungen im Unterricht

Lernende geben a, b, c und den Operator für ax+by ⊙ c ein und prüfen die gestrichelte oder durchgezogene Grenze sowie welche Halbebene zu schraffieren ist.

Automatische Bewertung von Prüfungen und LMS

Bewerten Sie Items zu Ungleichungen in zwei Variablen mit einem deterministischen Orakel für Grenzstil, Halbebenenseite und ungültige entartete Koeffizienten.

Skizzen und Vorschauen von Beschränkungen

Wandeln Sie lineare Ungleichungsbeschränkungen in Grenzmetadaten und Halbebenenbeschriftungen um bevor Füllregionen in Lehrwerkzeugen oder Notebooks gezeichnet werden.

Häufige Fragen

Wie analysiert man eine lineare Ungleichung in zwei Variablen ax + by ⊙ c?

Senden Sie endliche a, b, c und einen Operator (<, <=, >, >=).

Wann ist die Grenze gestrichelt und wann durchgezogen?

Strenge Operatoren < und > nutzen gestrichelte Grenze weil Punkte auf der Geraden keine Lösungen sind. Inklusive Operatoren <= und >= nutzen durchgezogene Grenze weil die Gerade einbezogen ist.

Wie wird die Halbebenenseite gewählt?

Wenn b ≠ 0 wird die Ungleichung nach y gelöst (Operatorumkehr falls b negativ); die Seite ist above oder below.

Was wenn a und b beide null sind?

Ohne a oder b ist die Aussage weder Gerade noch Halbebene in der Ebene, daher lehnt der Analysator ab statt Geometrie zu erfinden.

Wie zeichne ich 2x + y < 6?

Zeichnen Sie die Gerade, auf der 2x + y gleich 6 ist, gestrichelt, weil das Zeichen echt kleiner ist, und schraffieren Sie den Bereich darunter, also y < −2x + 6. Der Ursprung (0, 0) liefert 0 < 6, das stimmt, also liegt er im Lösungsbereich.

Was passiert, wenn a und b beide null sind?

Dann beschreibt die Ungleichung weder eine Gerade noch eine Halbebene, deshalb lehnt der Rechner die Eingabe ab. Mindestens einer der beiden Koeffizienten vor x oder y muss von null verschieden sein.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":1,"c":6,"op":"<"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "b": 1,
    "c": 6,
    "op": "<"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "b": 1,
    "c": 6,
    "op": "<"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"b":1,"c":6,"op":"<"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":1,"c":6,"op":"<"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 2,
  "b": 1,
  "c": 6,
  "op": "<"
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.two_variable_inequality",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Eingabevertrag, Antwortfelder und Verhalten bei vertikaler Grenze

Operatoren akzeptieren die Symbole kleiner als, kleiner oder gleich, größer als und größer oder gleich sowie die Aliase lt, le, gt, ge und die Unicode-Symbole für kleiner-oder-gleich und größer-oder-gleich. Wenn a und b beide null sind, scheitert die Anfrage weil ax plus by ⊙ c weder Gerade noch Halbebene in der Ebene definieren würde. Optionale Geometriefelder die nicht greifen (zum Beispiel slope bei vertikaler Grenze) werden weggelassen statt als null gesendet. Beispiel: a gleich zwei, b gleich eins, c gleich sechs, op kleiner als ergibt die gestrichelte Grenze zwei x plus y gleich sechs, Halbebene unter der Geraden und den Ursprung als erfüllenden Testpunkt. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit vier Pflichtfeldern: a, dem endlichen Koeffizienten von x; b, dem endlichen Koeffizienten von y; c, der endlichen rechten Seite; und op, dem Vergleichsoperator. Fehlende Felder, leere Zeichenketten und nicht endliche Zahlen scheitern mit invalid_input und benennen das Problem. Bei Erfolg spiegelt der Körper a, b, c und op wider, plus eine lesbare Ungleichungskette und boundary_equation. Das Feld boundary_style ist dashed bei strengen Operatoren und solid bei inklusiven; inclusive ist der passende boolesche Wert. Der boolesche is_vertical ist wahr wenn b null ist. Bei nicht vertikalen Grenzen enthält die Antwort slope, y_intercept und boundary_slope_intercept damit ein Plotter y gleich m x plus k ohne weiteres Lösen zeichnen kann. half_plane_side ist eines von above, below, left oder right; half_plane ist eine kurze Phrase die auch angibt ob die Grenze einbezogen ist; solution_region formuliert die Ungleichung nach dem Lösen nach y oder x neu. test_point_x, test_point_y, test_point und test_satisfies dokumentieren den Sondenpunkt zur Prüfung. Erfolgreiche Parse-Aufrufe kosten den veröffentlichten $0.002; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.

Wo eine API für lineare Ungleichungen in zwei Variablen sich lohnt

Algebra-Unterricht und Tutorienplattformen nutzen einen Rechner für lineare Ungleichungen in zwei Variablen damit Lernende Grenzstil und Schraffurrichtung für beliebige a, b, c und op prüfen können ohne Ungleichungszeichen beim Dividieren durch einen negativen Koeffizienten falsch umzukehren. Prüfungsgeneratoren und LMS-Plugins brauchen ein deterministisches Orakel das gestrichelt versus durchgezogen korrekt markiert und entartete Koeffizienten ablehnt statt hohlen Erfolg zurückzugeben. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Graphikvorschauen, Arbeitsblattgeneratoren und Beschränkungsskizzen in Optimierungsnotebooks brauchen oft die Halbebenenbeschreibung vor dem Füllen; ein kleiner Parse-API-Aufruf vermeidet ein volles Computeralgebrasystem für vier Felder. Weil die Implementierung reines Parse-Tier-A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz.

Technische Fragen

Was kostet der Rechner für lineare Ungleichungen in zwei Variablen?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →