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Inequação linear em duas variáveis

Q: Como analisar uma inequação linear em duas variáveis ax + by ⊙ c?

Envie a, b e c finitos e um operador ( , >=).

Q: Como fazer o gráfico de 2x + y < 6?

Trace tracejada a reta em que 2x + y vale 6, porque o sinal é estrito, e sombreie a parte de baixo: a região y < −2x + 6. A origem (0, 0) dá 0 < 6, o que é verdadeiro, então ela fica na região sombreada.

Para 2x + y < 6 você obtém a fronteira tracejada onde 2x + y vale 6, o semiplano abaixo de y = −2x + 6 e a origem como ponto de teste que a satisfaz. Confira seu gráfico antes de sombrear. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

A: 2
B: 1
C: 6
Op: <

Você obtém

Desigualdade: 2x + y < 6
Equação da fronteira: 2x + y = 6
Estilo da fronteira: dashed
Ponto de teste x: 0

Inequações lineares em duas variáveis, como dois x mais y menor que seis, definem semiplanos no plano cartesiano em vez de um único número na reta. Para graficá-las corretamente há três decisões que alunos, tutores e scripts de automação tomam todos os dias: escrever a reta fronteira a partir da igualdade, escolher traço tracejado quando a inequação é estrita ou contínuo quando é inclusiva, e sombrear o lado da reta que torna verdadeira a relação original. Esta calculadora de inequação linear em duas variáveis aceita coeficientes finitos a, b e c com um operador de comparação, monta a equação fronteira ax mais by igual a c, rotula o estilo da fronteira, isola y quando possível (ou x se a fronteira for vertical) e informa o semiplano com um ponto de teste que não está na reta. Casos degenerados em que a e b são ambos zero são rejeitados como entrada inválida porque não definem uma reta.

Reta fronteira, traço tracejado versus contínuo e geometria do semiplano

Uma inequação linear em duas variáveis tem a forma a x mais b y comparado com c, em que a comparação é menor que, menor ou igual, maior que, ou maior ou igual. A igualdade associada a x mais b y igual a c é a reta fronteira: todo ponto dessa reta torna os dois lados iguais. Quando a relação original é estrita (menor que ou maior que), os pontos da fronteira não satisfazem a inequação, por isso os livros desenham a fronteira com traço tracejado.

Quando a relação é inclusiva (menor ou igual ou maior ou igual), os pontos da fronteira são soluções e a fronteira é desenhada contínua. O conjunto solução é então um dos dois semiplanos abertos ou fechados determinados por essa reta. Para decidir qual, isole y quando b não for zero: divida com cuidado e inverta a inequação se b for negativo, depois leia acima ou abaixo da forma inclinação-intercepto da fronteira.

Quando b é zero e a não é zero a fronteira é vertical em x igual a c sobre a, e o semiplano fica à esquerda ou à direita dessa vertical após a mesma regra de inversão se a for negativo. Uma verificação prática é o método do ponto de teste: escolha um ponto fora da fronteira, muitas vezes a origem, substitua em a x mais b y ⊙ c e conserve o semiplano que contém o ponto somente quando a substituição for verdadeira.

Esta capacidade executa exatamente essa análise e devolve campos legíveis por máquina para equação da fronteira, estilo da fronteira, lado do semiplano e ponto de teste, para que clientes renderizem gráficos ou corrijam trabalhos sem rederivar a geometria.

Casos de uso

Checagens de gráfico em sala de aula

Alunos informam a, b, c e o operador de ax+by ⊙ c e verificam a fronteira tracejada ou contínua e qual semiplano sombrear.

Correção automática de provas e LMS

Avalie itens de inequação em duas variáveis com um oráculo determinístico de estilo de fronteira, lado do semiplano e coeficientes degenerados inválidos.

Esboços e pré-visualizações de restrições

Transforme restrições de inequação linear em metadados de fronteira e rótulos de semiplano antes de renderizar regiões de preenchimento em ferramentas didáticas ou cadernos.

Perguntas frequentes

Como analisar uma inequação linear em duas variáveis ax + by ⊙ c?

Envie a, b e c finitos e um operador (<, <=, >, >=).

Quando a fronteira é tracejada versus contínua?

Operadores estritos < e > usam fronteira tracejada porque pontos da reta não são soluções. Operadores inclusivos <= e >= usam fronteira contínua porque a reta está incluída.

Como o lado do semiplano é escolhido?

Quando b ≠ 0 a inequação é resolvida em y (invertendo o operador se b for negativo); o lado é above ou below.

E se a e b forem ambos zero?

Sem a ou b o enunciado não é reta nem semiplano no plano, então o analisador rejeita em vez de inventar geometria.

Como fazer o gráfico de 2x + y < 6?

Trace tracejada a reta em que 2x + y vale 6, porque o sinal é estrito, e sombreie a parte de baixo: a região y < −2x + 6. A origem (0, 0) dá 0 < 6, o que é verdadeiro, então ela fica na região sombreada.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":1,"c":6,"op":"<"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "b": 1,
    "c": 6,
    "op": "<"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "b": 1,
    "c": 6,
    "op": "<"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"b":1,"c":6,"op":"<"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":1,"c":6,"op":"<"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/two-variable-inequality", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "a": 2,
  "b": 1,
  "c": 6,
  "op": "<"
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.two_variable_inequality",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Contrato de entrada, campos de resposta e comportamento de fronteira vertical

Se a e b forem ambos zero a solicitação falha porque ax mais by ⊙ c não definiria uma reta nem um semiplano no plano. Campos geométricos opcionais que não se aplicam (por exemplo slope em fronteira vertical) são omitidos em vez de enviados como null. Exemplo: a igual a dois, b igual a um, c igual a seis, op menor que produz a fronteira tracejada dois x mais y igual a seis, semiplano abaixo da reta e a origem como ponto de teste que satisfaz. Envie um corpo JSON via POST com quatro campos obrigatórios: a, o coeficiente finito de x; b, o coeficiente finito de y; c, o lado direito finito; e op, o operador de comparação. Os operadores aceitam os símbolos menor que, menor ou igual, maior que e maior ou igual, mais os aliases lt, le, gt, ge e os símbolos unicode de menor ou igual e maior ou igual. Campos ausentes, strings vazias e números não finitos falham com invalid_input nomeando o problema. Em caso de sucesso o corpo ecoa a, b, c e op, mais uma string legível da inequação e boundary_equation. O campo boundary_style é dashed para operadores estritos e solid para inclusivos; inclusive é o booleano correspondente. O booleano is_vertical é verdadeiro quando b é zero. Para fronteiras não verticais a resposta inclui slope, y_intercept e boundary_slope_intercept para um graficador desenhar y igual a m x mais k sem outro isolamento. half_plane_side é um de above, below, left ou right; half_plane é uma frase curta que também indica se a fronteira está incluída; solution_region reescreve a inequação após isolar y ou x. test_point_x, test_point_y, test_point e test_satisfies documentam o ponto de sonda usado na verificação. Chamadas parse bem-sucedidas custam o US$ 0,002 publicado; entrada inválida não é cobrada.

Onde uma API de inequação linear em duas variáveis se justifica

Salas de álgebra e plataformas de tutoria usam uma calculadora de inequação linear em duas variáveis para que aprendizes verifiquem o estilo da fronteira e a direção do sombreamento com a, b, c e op arbitrários sem inverter mal os sinais ao dividir por um coeficiente negativo. Geradores de prova e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que marque tracejado versus contínuo corretamente e rejeite coeficientes degenerados em vez de devolver um sucesso vazio. Validação falha não consome saldo. Pré-visualizações gráficas, geradores de folhas e esboços de restrições em cadernos de otimização muitas vezes precisam da descrição do semiplano antes de desenhar o preenchimento; chamar uma API parse pequena evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por quatro campos.

Perguntas técnicas

Quanto custa a calculadora de inequação linear em duas variáveis?

A ferramenta no navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

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