Verificador de coplanaridade
Verifique se quatro pontos do espaço estão no mesmo plano: (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, 1, 0) estão, enquanto subir o último para (1, 1, 1) forma um tetraedro de volume 1/6. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- X1
- 0
- Y1
- 0
- Z1
- 0
- X2
- 1
- Y2
- 0
- Z2
- 0
- Produto misto
- 0
- Volume do tetraedro
- 0
Quatro pontos no espaço tridimensional são coplanares quando um único plano contém todos eles. Validadores CAD, construtores de faces de engines de jogo, pipelines de topografia e cursos de álgebra linear precisam constantemente de uma resposta sim ou não confiável para essa propriedade sem puxar um sistema completo de álgebra computacional. Este verificador de coplanaridade aceita as doze coordenadas cartesianas dos pontos A, B, C e D, monta os três vetores de aresta a partir de A, avalia o produto misto AB · (AC × AD) e informa se esse produto é numericamente zero. Quando o produto se anula, o tetraedro que eles geram tem volume nulo e os pontos compartilham um plano; quando não, formam um tetraedro sólido de volume positivo.
O que a coplanaridade significa e como o produto misto decide
Dois pontos distintos sempre definem uma reta, e três pontos não colineares sempre definem um plano único no espaço euclidiano tridimensional. Um quarto ponto ou está nesse plano ou não está. Algebricamente, tome os vetores AB, AC e AD do primeiro ponto aos outros três.
O produto vetorial AC × AD é uma normal ao plano de A, C e D (ou zero se esses três forem colineares). O produto escalar de AB com essa normal é o produto misto AB · (AC × AD). Geometricamente ele equivale a seis vezes o volume com sinal do tetraedro de vértices A, B, C e D.
Se o valor absoluto do produto misto for zero, o volume é zero e os quatro pontos são coplanares; se for diferente de zero, formam um tetraedro de volume positivo e não podem jazer em um só plano. Triplos colineares e pontos repetidos ainda produzem produto misto nulo, o que os classifica corretamente como coplanares no sentido fraco de que algum plano (de fato infinitos) os contém. As unidades se cancelam na comparação: metros, milímetros ou números abstratos puros funcionam desde que todas as coordenadas usem a mesma escala.
A resposta ecoa os quatro pontos, o produto misto arredondado, o volume absoluto do tetraedro, um booleano coplanar e uma string curta de fórmula que você pode exibir ao lado da resposta em interfaces de ensino.
Onde vale conferir se quatro pontos são coplanares
Pipelines de malha e CAD usam um verificador de coplanaridade antes de fundir quatro vértices em uma única face poligonal, capturando quadriláteros não planos que distorceriam normais ou quebrariam restrições de face plana. Scripts de topografia e fotogrametria verificam se pontos de controle destinados a compartilhar um plano de piso ou parede realmente o fazem antes de calcular áreas ou cotas.
Cursos de álgebra linear e geometria espacial precisam de um oráculo determinístico que marque configurações coplanares versus tetraédricas sem o aluno calcular à mão nove multiplicações sob pressão de prova. Engines de jogo e editores de nível costumam guardar quatro alças de canto para um painel ou portal e devem rejeitar elevações que quebrem a planaridade quando o designer move um vértice. Validação falha não consome saldo.
Mantenha requisições pequenas, fixe o produto misto e o volume arredondados nos testes, e você obtém decisões de coplanaridade reproduzíveis para correção, portões de geometria em CI e workers de borda sem montar sua própria pilha completa de geometria computacional.
Casos de uso
Portões de planaridade em CAD e malhas
Rejeite quadriláteros não planos antes de fundir ou exportar faces testando os quatro vértices de canto de cada face poligonal candidata.
Correção automática em sala e provas
Avalie itens de geometria espacial que perguntam se quatro pontos dados são coplanares com um oráculo determinístico de produto misto.
Checagem de pontos de controle topográficos
Verifique se quatro estacas ou marcadores de fotogrametria destinados a um plano de piso ou parede realmente compartilham esse plano.
Perguntas frequentes
Qual fórmula o verificador de coplanaridade usa?
Usa o produto misto dos vetores de aresta a partir do primeiro ponto: AB · (AC × AD). Os pontos são coplanares se e somente se esse produto for zero; o volume do tetraedro é seu valor absoluto dividido por seis.
E se uma coordenada não for um número?
Strings não numéricas, Infinity, NaN, valores vazios e coordenadas ausentes são rejeitados e não são cobrados.
Pontos colineares ou repetidos contam como coplanares?
Sim. Se três ou quatro pontos colapsam de modo que o produto misto seja zero, ainda jazem em algum plano (muitas vezes infinitos), então coplanar é true com volume de tetraedro nulo.
O que o volume do tetraedro indica?
Quatro pontos sempre formam um tetraedro, e o volume dele é o produto misto dividido por seis. Volume zero significa que a figura é plana e os pontos estão no mesmo plano; qualquer volume positivo indica que não.
Quão pequena pode ser a distância para ainda contar como plano?
Uma tolerância mínima, de um bilionésimo, absorve o ruído de arredondamento das coordenadas comuns, para que a resposta não mude por acaso. Um ponto realmente fora do plano continua sendo apontado como não coplanar.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/coplanar-points \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":0,"y1":0,"z1":0,"x2":1,"y2":0,"z2":0,"x3":0,"y3":1,"z3":0,"x4":1,"y4":1,"z4":0}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/coplanar-points", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x1": 0,
"y1": 0,
"z1": 0,
"x2": 1,
"y2": 0,
"z2": 0,
"x3": 0,
"y3": 1,
"z3": 0,
"x4": 1,
"y4": 1,
"z4": 0
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/coplanar-points",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x1": 0,
"y1": 0,
"z1": 0,
"x2": 1,
"y2": 0,
"z2": 0,
"x3": 0,
"y3": 1,
"z3": 0,
"x4": 1,
"y4": 1,
"z4": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/coplanar-points", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":0,"y1":0,"z1":0,"x2":1,"y2":0,"z2":0,"x3":0,"y3":1,"z3":0,"x4":1,"y4":1,"z4":0}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x1":0,"y1":0,"z1":0,"x2":1,"y2":0,"z2":0,"x3":0,"y3":1,"z3":0,"x4":1,"y4":1,"z4":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/coplanar-points", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"z1": 0,
"x2": 1,
"y2": 0,
"z2": 0,
"x3": 0,
"y3": 1,
"z3": 0,
"x4": 1,
"y4": 1,
"z4": 0
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.coplanar_points",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Coordenadas não numéricas ou ausentes falham com invalid_input para que a automação nunca confunda lixo com geometria.
O que a coplanaridade significa e como o produto misto decide
Este endpoint usa um épsilon absoluto pequeno de um vezes dez à menos nove para que o ruído de ponto flutuante em escalas de coordenadas comuns não inverta o booleano, enquanto um levantamento geométrico claro de um ponto fora do plano ainda reporta não coplanar.
Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento de erro
Exemplo: A na origem, B em (1,0,0), C em (0,1,0) e D em (1,1,0) são coplanares com produto misto zero e volume zero porque todos os quatro têm z igual a zero. Eleve D a (1,1,1) e o produto vira um, o volume vira um sexto e coplanar é false. Envie por POST um corpo JSON com doze números finitos obrigatórios: x1, y1, z1 para o ponto A; x2, y2, z2 para B; x3, y3, z3 para C; e x4, y4, z4 para D. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica como "1.5" ou "-2e-3"; Infinity, NaN, strings vazias, campos ausentes e texto não numérico falham com invalid_input nomeando o campo ofensor, e essas falhas não são cobradas. Aliases comuns como ax, ay, az até dx, dy, dz e p1x até p4z são declarados na camada de formulário para que cargas no estilo CAD ou planilha mapeiem com clareza. Em sucesso o corpo inclui coplanar como booleano; scalar_triple como o produto com sinal AB · (AC × AD) arredondado a doze casas decimais para goldens estáveis; tetrahedron_volume como o valor absoluto desse produto dividido por seis; points como um objeto com arrays a, b, c e d; e formula reafirmando a regra de decisão. Combine a resposta com sua própria exibição de equação do plano ou do vetor normal se precisar dos coeficientes a, b, c, d de ax+by+cz+d=0; esta capacidade responde apenas à coplanaridade e não emite ajustes de plano nem dados de gráfico.
Onde uma API de coplanaridade de quatro pontos se paga
Como a implementação é parse pura de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Perguntas técnicas
Como verificar se quatro pontos 3D são coplanares?
Envie coordenadas finitas x1,y1,z1 até x4,y4,z4. A API calcula AB·(AC×AD) e devolve coplanar true quando o valor absoluto está próximo de zero, além do produto misto e do volume do tetraedro.
Quanto custa o verificador de coplanaridade?
A ferramenta do navegador é gratuita. Requisições API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.