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Inequações de valor absoluto

|2x − 3| < 5 vale para −1 < x < 4, o intervalo (−1, 4), enquanto a versão com maior que dá duas semirretas externas. Digite seus números e a comparação para obter o conjunto solução, incluindo os casos vazio e de todos os reais. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar
A
2
B
-3
C
5
Op
<
Você obtém
Desigualdade
|2x-3|<5
Intervalo
(-1, 4)
Solução
-1 < x < 4
Casos
-c < ax+b < c → interior open interval between the two roots

Inequações de valor absoluto da forma módulo de ax mais b comparado com c aparecem em cursos de álgebra, exames de ingresso e currículos técnicos que tratam expressões lineares sob um módulo com comparação estrita ou não estrita. Estudantes precisam do conjunto solução em notação de intervalos limpa tanto para formas menor-que quanto maior-que; scripts de automação precisam de um contrato determinístico que nunca invente um intervalo quando o lado direito torna o enunciado vazio ou sempre verdadeiro. Este resolvedor de inequações de valor absoluto aceita os coeficientes a, b e c mais um operador de comparação, aplica a separação clássica em dois casos do livro-texto e devolve a solução ordenada como cadeia de intervalo, uma linha de solução legível e flags para conjuntos vazios, todos os reais, uniões e pontos únicos.

O que |ax + b| ⊙ c significa e como os dois casos se separam

O valor absoluto de um número real é a sua distância ao zero na reta numérica, de modo que |ax + b| comparado com c pergunta por todo x tal que a expressão linear ax mais b fique a uma distância do zero que satisfaça a comparação escolhida. Essa interpretação de distância produz a separação clássica em dois casos de todo livro-texto.

Nas formas menor-que, |u| menor que c com c positivo significa que a expressão fica estritamente entre menos c e c, o que gera um único intervalo aberto ou fechado entre as duas raízes de |ax + b| igual a c. Nas formas maior-que, |u| maior que c com c positivo significa que a expressão fica fora dessa faixa, o que produz a união de dois raios infinitos.

As raízes críticas vêm de resolver ax mais b igual a c e ax mais b igual a menos c; ordenar essas raízes absorve o sinal de a para que você não inverta inequações à mão quando a é negativo. Quando c é zero, o menor estrito é vazio, o menor-ou-igual colapsa no único ponto onde ax mais b é zero, o maior estrito é a reta real sem esse ponto e o maior-ou-igual é toda a reta real.

Quando c é negativo, as formas menores são vazias porque um módulo não pode ser menor que um número negativo, enquanto as formas maiores valem para todo x real. O coeficiente a deve ser não nulo: se a fosse zero, o enunciado original não determinaria x, apenas uma afirmação verdadeira ou falsa sobre |b| e c, fora do escopo de isolar x.

Onde resolver essas inequações ajuda

Salas de aula e plataformas de tutoria usam um resolvedor de inequações de valor absoluto para que aprendizes verifiquem tanto interiores menor-que quanto uniões exteriores maior-que com a, b, c e op arbitrários sem erros de inversão de sinal quando a é negativo. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que devolva o conjunto vazio para formas menores impossíveis com c negativo e toda a reta real para formas maiores sempre verdadeiras, em vez de inventar raízes em silêncio. Validação falha não consome saldo.

Mantenha solicitações pequenas, fixe as cadeias de intervalo e os limites arredondados nos testes e obtenha conjuntos solução reproduzíveis para deveres, plugins de LMS e edge workers sem montar infraestrutura própria de matemática simbólica.

Casos de uso

Checagens de sala e dever de casa

Permita que estudantes enviem a, b, c e op para |ax+b| ⊙ c e verifiquem a notação de intervalos tanto para interiores menor-que quanto para uniões exteriores maior-que.

Correção automática em exames e LMS

Corrija itens de inequações de valor absoluto com um oráculo determinístico que devolve ∅, um ponto, um intervalo fechado, uma união de raios ou todos os reais conforme o caso.

Faixas de tolerância e cadernos

Resolva restrições absolutas lineares simétricas |ax+b| ≤ c em scripts de calibração sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.

Perguntas frequentes

Como resolver |ax + b| < c ou |ax + b| > c para x?

Envie números finitos a (não nulo), b, c e op (<, <=, >, >=). Formas menores devolvem o intervalo interior entre as duas raízes de |ax+b|=c quando c>0; formas maiores devolvem a união exterior de dois raios.

O que acontece se c for negativo?

Formas menor-que produzem o conjunto vazio ∅ porque o valor absoluto não pode ser menor que um número negativo. Formas maior-que produzem todos os números reais. Ambas são respostas de sucesso válidas, não erros.

Por que a deve ser não nulo?

Se a for zero, |ax+b| ⊙ c não é uma inequação em x — apenas uma afirmação verdadeira ou falsa sobre |b| e c. O resolvedor exige a≠0 para devolver um conjunto solução de x.

Que notação de intervalos o resolvedor devolve?

Intervalos abertos ou fechados em formas menores, uniões de dois raios em formas maiores quando c>0, um singleton quando |ax+b|≤0, ∅ se vazio e (-∞, ∞) quando todo x real funciona.

Qual é a solução de |2x − 3| < 5?

Todos os valores com −1 < x < 4, ou seja, (−1, 4). Os extremos ficam de fora porque a comparação é estrita: em −1 e em 4 a expressão vale exatamente 5, não menos.

Ferramentas relacionadas

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Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-inequality

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/absolute-value-inequality \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":-3,"c":5,"op":"<"}'

Exemplo de requisição

{
  "a": 2,
  "b": -3,
  "c": 5,
  "op": "<"
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.absolute_value_inequality",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTPCódigoO que significa
401unauthorizedToken ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
402insufficient_balanceSaldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
404unknown_typeEsse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
429rate_limitedMuitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Quando a é zero o enunciado não é uma inequação em x e a tarefa falha com invalid_input.

O que |ax + b| ⊙ c significa e como os dois casos se separam

A capacidade codifica esse requisito como invalid_input para que clientes distingam falhas duras de validação de conjuntos solução vazios mas válidos.

Contrato de entrada, forma da resposta e comportamento em erro

Exemplo: a igual a dois, b igual a menos três, c igual a cinco e op menor que produz a inequação |2x-3|<5 e o intervalo aberto de menos um a quatro, porque o interior entre as raízes críticas é exatamente essa banda. Envie por POST um corpo JSON com quatro campos obrigatórios: a, o coeficiente não nulo de x; b, o termo constante dentro do módulo; c, o lado direito finito; e op, o operador de comparação entre menor que, menor ou igual, maior que e maior ou igual. Cada campo numérico pode chegar como número JSON ou como cadeia numérica; valores não finitos, campos ausentes e cadeias vazias falham com invalid_input nomeando o campo. Aceitam-se aliases de operador como lt, le, gt, ge e os símbolos unicode de menor-ou-igual e maior-ou-igual, bem como aliases de campo A, coeff, B, left_const, C, rhs, right, operator, comparison e sense. Em caso de sucesso, o corpo devolve a, b, c e op; uma cadeia de inequação que reescreve a forma com módulo para exibição; interval em notação padrão de intervalos com uniões e o símbolo de conjunto vazio; solution como descrição algébrica legível; flags booleanas empty, all_reals, is_union e is_point; left_bound e right_bound opcionais com indicadores de inclusão quando existem extremos finitos; uma cadeia cases breve descrevendo o ramo aplicado; e um lembrete formula da identidade de dois casos. Combine a resposta com seus próprios gráficos de reta numérica se precisar de um esboço; este endpoint só resolve o conjunto e não emite gráficos nem prosa de vários passos além dos campos cases e formula.

Onde uma API de inequações de valor absoluto se paga

Cadernos de engenharia e ciência muitas vezes reduzem faixas de tolerância e restrições lineares por partes a |ax+b| menor ou igual a c ao validar cotas de erro simétricas; chamar uma pequena API de parse evita puxar um sistema completo de álgebra computacional para um problema de quatro campos. Como a implementação é parse puro de tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado de US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.

Perguntas técnicas

Quanto custa o resolvedor de inequações de valor absoluto?

A ferramenta do navegador é gratuita. Solicitações à API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

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