Valor absoluto aninhado
||2x - 1| + 3| = 5 tem duas raízes, -1/2 e 3/2: o resolvedor tira primeiro o valor absoluto externo, mantém só o valor interno 2 porque -8 é impossível e depois resolve a equação interna. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 2
- B
- -1
- C
- 3
- D
- 5
- Equação
- ||2x-1|+3|=5
- Valores internos alvo
- 2
- Quantidade de soluções
- 2
- Soluções
- -0,5, 1,5
Equações de valor absoluto aninhadas colocam um módulo dentro de outro, de modo que a divisão usual em dois casos não basta: você precisa resolver primeiro o valor absoluto externo, manter apenas candidatos não negativos para a expressão interna e só então resolver a equação simples de valor absoluto em x. Estudantes encontram formas como o valor absoluto do valor absoluto de ax mais b mais c igual a d em álgebra intermediária, preparação para concursos e modelos lineares por partes. Este resolvedor de equações de valor absoluto aninhado aceita os coeficientes a, b, c e d, aplica essa árvore de casos de dentro para fora de forma determinística e devolve cada raiz real válida em ordem crescente junto com os alvos internos intermediários. Lados direitos externos negativos e um coeficiente nulo de x são rejeitados como entrada inválida em vez de sucessos vazios silenciosos.
Por que valores absolutos aninhados exigem uma árvore de casos de dentro para fora
Uma equação de valor absoluto simples |ax + b| = k se divide em duas equações lineares quando k é positivo, uma equação quando k é zero e nenhuma solução real quando k é negativo. Aninhar um segundo módulo muda a geometria: o valor absoluto externo restringe uma quantidade não negativa u igual ao módulo interno, não a x em si.
Escrever a forma aninhada como ||ax + b| + c| = d começa fixando u = |ax + b| com a restrição rígida u ≥ 0 e, em seguida, resolvendo a equação externa |u + c| = d para u. Esse passo externo produz os dois candidatos u igual a d menos c e u igual a menos d menos c; qualquer candidato que falhe em u ≥ 0 é descartado imediatamente porque um valor absoluto não pode ser negativo.
Os alvos que sobrevivem tornam-se os lados direitos de equações ordinárias de valor absoluto |ax + b| = u. Para cada u válida o resolvedor produz uma raiz quando u é zero e duas raízes quando u é positivo; depois funde, remove duplicatas e ordena todas as raízes de forma crescente. Quando c é negativo, a mesma álgebra codifica os livros que escrevem ||ax + b| − k| = d, porque somar uma constante negativa é subtrair k.
Quando d é zero, os dois candidatos externos colapsam na única condição u igual a menos c, admissível somente se esse valor for não negativo. Essa disciplina de dentro para fora é exatamente o que professores marcam no papel e o que APIs de produção precisam para correção reprodutível e scripts de notebook.
Casos de uso
Conferências de sala com vários casos
Permita que estudantes enviem a, b, c e d para ||ax+b|+c|=d e verifiquem cada raiz ordenada em relação à árvore de casos de dentro para fora ensinada em álgebra intermediária.
Correção automática em exames e LMS
Corrija itens de valor absoluto aninhado com um oráculo determinístico que rejeita d negativo, reporta soluções vazias quando nenhum alvo interno não negativo sobrevive e nunca inventa raízes extras.
Notebooks e restrições por partes
Resolva restrições de módulo aninhado em scripts de calibração ou tolerância sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional para um problema de quatro coeficientes.
Perguntas frequentes
Como resolver ||ax + b| + c| = d para x?
Envie números finitos a (não nulo), b, c e d (não negativo).
O que acontece se d for negativo?
Um valor absoluto externo não pode igualar um número negativo, de modo que a equação não tem solução real e não é cobrada.
Por que a deve ser diferente de zero?
Se a for zero, ||ax+b|+c|=d não é uma equação em x—apenas uma afirmação verdadeira ou falsa sobre ||b|+c| e d. O resolvedor exige a≠0 para devolver raízes de x.
O resolvedor pode devolver zero soluções sem erro?
É uma equação bem formada sem raiz real, não entrada inválida.
Quantas raízes uma equação de valor absoluto aninhado pode ter?
Cada valor interno válido gera uma raiz se for zero e duas se for positivo. Com dois valores válidos, todas as raízes são reunidas, as repetidas são removidas e o resultado sai em ordem crescente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":-1,"c":3,"d":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": -1,
"c": 3,
"d": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": -1,
"c": 3,
"d": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":-1,"c":3,"d":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":-1,"c":3,"d":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/solve-absolute-value-equation-nested", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 2,
"b": -1,
"c": 3,
"d": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.solve_absolute_value_equation_nested",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O mesmo módulo puro alimenta o caminho gratuito do navegador e a API pré-paga, de modo que revisões de sala de aula e automação nunca discordam sobre quais raízes sobrevivem às duas camadas de valor absoluto.
Por que valores absolutos aninhados exigem uma árvore de casos de dentro para fora
Quando d é negativo, a distância externa teria de ser negativa, o que é impossível, de modo que a solicitação falha com invalid_input em vez de inventar raízes.
Contrato de entrada, campos de resposta e comportamento de erro
Exemplo: a igual a dois, b igual a menos um, c igual a três, d igual a cinco produz ||2x-1|+3|=5. O desdobramento externo mantém u igual a dois (de cinco menos três) e descarta o candidato negativo menos oito; em seguida |2x-1|=2 produz as raízes x igual a menos um meio e x igual a três meios. Envie por POST um corpo JSON com quatro números finitos obrigatórios: a, o coeficiente não nulo de x dentro do módulo interno; b, o termo constante dentro desse módulo; c, a constante somada ao valor absoluto interno antes do módulo externo; e d, o lado direito externo não negativo. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias, valores não finitos, a igual a zero e d menor que zero falham com invalid_input nomeando o problema, e essas falhas não são cobradas. Em caso de sucesso o corpo devolve a, b, c e d; uma string de equação que reescreve a forma de módulo aninhado para exibição; inner_targets como os valores u não negativos ordenados após o desdobramento externo; solution_count; solutions como vetor ascendente de raízes reais arredondadas a doze casas decimais para goldens estáveis entre ambientes; e uma string de fórmula que reformula a identidade de duas camadas. Se todo candidato externo falhar no filtro de não negatividade, a equação está bem formada mas não tem raiz real: solution_count é zero e solutions é um vetor vazio em vez de um erro, para que avaliadores automáticos distinguam geometria impossível de parâmetros ruins. Combine a resposta com sua própria plotagem se precisar das composições em V; este endpoint só resolve x.
Onde uma API de valor absoluto aninhado se paga
Salas de aula e plataformas de tutoria usam um resolvedor de equações de valor absoluto aninhado para que aprendizes confiem trabalhos de vários casos sem perder um sinal ao desdobrar primeiro o módulo externo. Geradores de preparação para exames e plugins de LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite d negativo como sem solução e devolva cada raiz sobrevivente quando ambas as camadas admitem soluções, sem inventar extras a partir de alvos negativos descartados. Validação falha não consome saldo. Notebooks de engenharia reduzem faixas de tolerância lineares por partes e restrições de distância dobradas a equações de módulo aninhado ao calibrar sensores ou validar modelos de erro simétricos; chamar uma pequena API de análise evita puxar um sistema completo de álgebra computacional por quatro coeficientes. Como a implementação é análise pura de tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado de US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída. Mantenha as solicitações pequenas, fixe as soluções arredondadas e inner_targets nos testes e você obterá raízes reproduzíveis para trabalhos, pacotes de concurso e edge workers sem montar infraestrutura própria de matemática simbólica.
Perguntas técnicas
Quanto custa o resolvedor de valor absoluto aninhado?
A ferramenta do navegador é grátis. Solicitações à API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.