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多項式の実根探索

Q: 複素根は返しますか？

いいえ。 実根のみです。非実の複素共役対は設計上省略し、出力が x 軸切片と大半の教室の実根課題と一致するようにしています。

多項式の実数解を重複度つきで一覧にします。x³ − 6x² + 11x − 6の解は1、2、3で、どれも重複度1です。重解は1回だけ示し、重複度を2とします。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

係数: 1, -6, 11, -6

結果

次数: 3
多項式: x^3 - 6x^2 + 11x - 6
根: 1, 2, 3
重複度: 1, 1, 1

多項式が零になるすべての実数を求めることは、代数・微積分・工学・科学計算の中核スキルです。一変数多項式の係数リスト—最高次を先に—を与えると、本機能は各相異なる実根とその重複度を返します。整数根と有理根は古典的な有理根定理で発見し総合除法で引き剥がし、二次の残差は閉形式で解き、より高次の残差因子は導関数の臨界点、コーシーの大きさ境界、二分法、ニュートン研磨で分離します。先頭係数ゼロは次数を黙って下げず無効入力として拒否します。

係数・次数と「すべての実根」の意味

次数は整形式配列の長さより1少ないです。実根は p(r)=0 となる任意の実数 r で、非実の複素共役対は意図的に省略します。多くの教室とパイプラインの課題は x 軸の実交点だけを気にするからです。

重複度は (x−r) が p を何回割るかを数え、(x−1)² の二重根は roots リストに一度だけ重複度2で現れ、同じ値を二回列挙するよりグラフと部分分数に有用です。非零の定数多項式は次数0で根リストは空です。

有理根定理と数値精密化の組み合わせ

各係数が整数に近いとき、有理根定理は有限候補集合を与えます：既約な p/q の有理根は p が定数項を割り q が先頭係数を割り、符号の変形と定数項が消えるときの零を含みます。各候補はホーナー法で評価し、命中は総合除法で除き、重複度を捉えるまで繰り返します。有理デフレーション後、一次残差は除法で1根、二次残差は判別式公式で0・1・2個の実根を返します。

より高次の残差は外部ライブラリなしで扱い、形式導関数を再帰的に解いて臨界点を求め、コーシー境界ですべての実根が既知区間内にあることを保証し、符号変化のある各部分区間を二分法ののちニュートン反復で、残差と歩幅が厳しいイプシロン閾値を下回るまで精密化します。

ほぼ整数のノイズは読みやすい goldens 用に掃除し、±√2 のような通常の無理数は十二有効桁を保ちます。

結果の読み方と使える範囲

別名 coeffs も便宜上受け付けます。一度きりの宿題確認、講義デモ、Maxima・Mathematica・ローカル NumPy なしの素早い健全性テストには無料ブラウザツールを。次数は隔離安全のため上限があり、極端に大きな係数は倍精度の打ち消しに苦しむことがあるので、教室と工学で適切にスケールした入力を好んでください。

結果は決定的で CI フィクスチャに固定して安全です。入力の保持は他の KIT parse 項目と同じで、エンジンが拒否したあと検証失敗は残高を消費しません。

活用例

宿題とチュータリングの検証

学生と採点者は、先頭係数ゼロの明確なエラーを含め、三次・四次の各実根と重複度をローカル計算機代数なしで確認できます。

教材と評価の生成器

自動問題バンクは整数根の多項式を乱数生成し、演習公開前にこの決定的オラクルで解法出力を検証します。

よくある質問

複素根は返しますか？

いいえ。実根のみです。非実の複素共役対は設計上省略し、出力が x 軸切片と大半の教室の実根課題と一致するようにしています。

重根はどう報告されますか？

例：(x − 1)² は roots [1]、multiplicities [2] です。

無理数の解はどのくらいの精度で出ますか？

整数でも分数でもない解、たとえばプラスマイナス2の平方根は、有効数字12桁まで詰めて示します。整数解と有理数解は先に正確に求めます。

最高次の係数が0だとどうなりますか？

受け付けず、入力の誤りとして知らせます。次数を勝手に下げることはないので、意図した次数の係数を最初に入れてください。

係数はどの順序で入力しますか？

最高次から定数項の順です。x³ − 6x² + 11x − 6なら1、−6、11、−6と入力し、最初の値は0以外にします。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      -6,
      11,
      -6
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        -6,
        11,
        -6
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,-6,11,-6]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,-6,11,-6]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "coefficients": [
    1,
    -6,
    11,
    -6
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_roots",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

係数・次数と「すべての実根」の意味

モニックでも非モニックでも、一変数多項式を a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_0 と書きます。入力配列はまさにその順の数で、先頭が最高次係数 a_n、末尾が定数項です。先頭係数がゼロなら invalid_input で失敗—エンジンは先頭ゼロを黙って落とさず、呼び出し側が意図した次数を宣言する責任を負います。

有理根定理と数値精密化の組み合わせ

経路全体は純粋な浮動小数点算術—ネットワークなし、乱数シードなし、壁時計なし—なので同じ係数は常に同じ JSON を生みます。係数配列欠落や先頭項ゼロを含む検証失敗は invalid_input を上げ課金されません。

API呼び出し、応答の読み方、料金、実務上の制限

有限数の必須配列 coefficients を最高次先で JSON 本体として送ってください。成功時は清掃済み係数、次数、可読多項式文字列、ソート済み相異なる実根、並列の multiplicities 配列、構造化 root_details、相異なる real_root_count、有理+数値戦略を記す method ラベルをエコーします。チュータリング基盤、コーディング評価サンドボックス、教材生成、データパイプラインが前払い KIT 残高 $0.002/成功項目の安定契約を必要とするときは API を。

連携の活用例

軽量数値パイプライン

低次残差多項式の実根が必要なスクリプトは、言語ごとに有理根探索とニュートン研磨を再実装せず安定 JSON エンドポイントを呼び出します。

技術的な質問

このAPIで多項式の根を求めるには？

coefficients を最高次先の配列として JSON で送ってください（例：x³ − 6x² + 11x − 6 なら [1, -6, 11, -6]）。応答は各相異なる実根と重複度を列挙します。

先頭係数がゼロだとどうなりますか？

リクエストは invalid_input で失敗し、先頭係数は非零でなければならないというメッセージが出ます。次数は黙って下がらず、失敗呼び出しは課金されません。

多項式の根探索は無料ですか？

ブラウザツールは端末で無料です。API は成功項目あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、検証失敗は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

多項式の実根探索

無料で実行

計算例

係数・次数と「すべての実根」の意味

有理根定理と数値精密化の組み合わせ

結果の読み方と使える範囲

活用例

宿題とチュータリングの検証

教材と評価の生成器

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

係数・次数と「すべての実根」の意味

有理根定理と数値精密化の組み合わせ

API呼び出し、応答の読み方、料金、実務上の制限

連携の活用例

軽量数値パイプライン

技術的な質問

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