Intervalli di concavità verso l’alto

Un grafico due volte differenziabile è concavo verso l’alto su un intervallo aperto quando la seconda derivata è strettamente positiva lì: la pendenza cresce e la curva si piega come una tazza che può contenere acqua. Per un polinomio univariato dato da un elenco di coefficienti, la seconda derivata è un altro polinomio costruibile con la sola regola della potenza e analizzabile con un classico quadro dei segni — senza calcolatrice grafica, senza abbonamento di algebra computazionale e senza una scatola nera a virgola mobile che diverga dalla fattorizzazione a mano. Questo calcolatore di intervalli di concavità verso l’alto accetta i coefficienti dal grado più alto al più basso, forma p primo e p secondo, trova ogni radice reale distinta della seconda derivata, prova i pezzi aperti della retta reale tra tali radici e restituisce gli intervalli aperti dove p secondo resta positiva, insieme a stringhe polinomiali leggibili per la lezione.

Cosa significa concavità verso l’alto per un polinomio

Il grafico è concavo verso l’alto su un intervallo aperto I quando p secondo di x è strettamente maggiore di zero per ogni x in I. In una radice isolata di p secondo la seconda derivata è zero, quindi quel punto è escluso da ogni intervallo aperto di concavità verso l’alto anche quando il segno è positivo da entrambi i lati (tocco di molteplicità pari) o da un solo lato (cambio di segno di molteplicità dispari, il caso abituale di flesso).

Le radici complesse non reali di p secondo non compaiono mai nell’elenco dei tagli perché un quadro dei segni sulla retta reale usa solo ascisse reali. I polinomi di grado zero e di grado uno hanno seconda derivata identicamente nulla, quindi non sono mai strettamente concavi verso l’alto su alcun intervallo aperto e l’elenco dei risultati resta vuoto anziché inventato.

Il grado due produce una seconda derivata costante: se il coefficiente direttore è positivo, l’intera retta reale è concava verso l’alto come un solo intervallo aperto da meno infinito a più infinito; se negativo, l’elenco è vuoto. Gradi superiori producono una p secondo non costante le cui radici reali partizionano la retta in un numero finito di pezzi aperti che questo solutore etichetta con notazione di intervalli.

Come il solutore costruisce il quadro dei segni di p″

Dopo aver validato un array di coefficienti non vuoto con termine direttore non nullo, il motore differenzia due volte nell’ordine dal grado più alto e pulisce gli zeri iniziali da cancellazioni esatte. Il polinomio della seconda derivata viene formattato per la visualizzazione e, quando il grado è almeno uno, passato a una pipeline deterministica di radici reali condivisa con altri strumenti puri di calcolo del catalogo.

Quando ogni coefficiente è vicino a un intero, il teorema delle radici razionali fornisce un insieme finito di candidati; i colpi vengono estratti con divisione sintetica così molteplicità e fattori residuali si riducono in fretta. I residuali lineari si risolvono per divisione; i residuali quadratici usano la formula del discriminante e tengono solo radici reali.

I gradi residuali superiori si isolano senza librerie esterne localizzando ricorsivamente i punti critici del residuale, applicando un bound di magnitudine di Cauchy, bisezionando intervalli con cambio di segno e lucidando con Newton finché residuale e passo non scendono sotto soglie epsilon strette. Le radici reali distinte ordinate diventano i punti di rottura del quadro dei segni.

Ogni pezzo aperto — da meno infinito alla prima radice, tra radici consecutive e dall’ultima radice a più infinito — viene provato in un punto medio (o un passo unitario oltre un estremo illimitato). I pezzi in cui p secondo valuta strettamente positiva vengono emessi come intervalli aperti con estremo sinistro, estremo destro e una notazione compatta come (0, +∞). Le radici stesse non sono mai incluse perché qui concavità verso l’alto significa seconda derivata strettamente positiva.