ForHosting KIT · الرياضيات

فترات التقعر للأعلى

في x³ − 3x المشتقة الثانية 6x، لذا يكون المنحنى مقعرًا للأعلى على (0, +∞) تحديدًا. أدخل المعاملات لتحصل على المشتقتين وعلى كل فترة مفتوحة تبقى فيها المشتقة الثانية موجبة. مجاني في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

المعاملات: 1, 0, ‎-3, 0

تحصل على

الدرجة: 3
كثير الحدود: x^3 - 3x
معاملات المشتقة الأولى: 3, 0, ‎-3
المشتقة الأولى: 3x^2 - 3

يكون المنحنى القابل للاشتقاق مرتين مقعرًا للأعلى على فترة مفتوحة عندما تكون المشتقة الثانية موجبة تمامًا هناك: يزداد الميل وينحني المنحنى ككأس يمكنه احتواء الماء. لكثيرة حدود بمتغير واحد معطاة بقائمة معاملات، تكون المشتقة الثانية كثيرة حدود أخرى تُبنى بقاعدة القوة وحدها وتُحلَّل بجدول إشارات كلاسيكي — بلا آلة رسم بياني، وبلا اشتراك في جبر حاسوبي، وبلا صندوق أسود للفاصلة العائمة يختلف عن التحليل اليدوي. تقبل حاسبة فترات التقعر للأعلى هذه المعاملات من أعلى درجة إلى أدناها، وتكوّن p′ و p″، وتجد كل جذر حقيقي مميز للمشتقة الثانية، وتختبر القطع المفتوحة من المستقيم الحقيقي بين تلك الجذور، وتعيد الفترات المفتوحة حيث تبقى p″ موجبة، مع سلاسل كثيرة حدود مقروءة للعرض في الصف.

معنى التقعر للأعلى لكثيرة حدود

يكون المنحنى مقعرًا للأعلى على فترة مفتوحة I عندما تكون p″ من x أكبر تمامًا من الصفر لكل x في I. عند جذر معزول لـ p″ تكون المشتقة الثانية صفرًا، فيُستبعد ذلك النقطة من كل فترة مفتوحة للتقعر للأعلى حتى عندما يكون الإشارة موجبة على الجانبين (ملامسة بعدد زوجي) أو على جانب واحد فقط (تغيّر إشارة بعدد فردي، وهو سياق الانعطاف المعتاد). لا تظهر الجذور العقدية غير الحقيقية لـ p″ في قائمة القطع لأن جدول الإشارات على المستقيم الحقيقي يستخدم فقط الإحداثيات الأفقية الحقيقية.

كثيرات الحدود من الدرجة صفر والدرجة واحد لها مشتقة ثانية صفرية تطابقًا، فهي ليست مقعرة للأعلى تمامًا على أي فترة مفتوحة، وتبقى قائمة النتائج فارغة بدل اختراعها. الدرجة اثنان تعطي مشتقة ثانية ثابتة: إن كان المعامل الرئيسي موجبًا فكل المستقيم الحقيقي مقعر للأعلى كفترة مفتوحة واحدة من سالب اللانهاية إلى موجب اللانهاية؛ وإن كان سالبًا فالقائمة فارغة. الدرجات الأعلى تنتج p″ غير ثابتة تقسّم جذورها الحقيقية المستقيم إلى قطع مفتوحة متناهية يعلّمها هذا الحلّال بتدوين الفترات.

كيف يبني الحلّال جدول إشارات p″

بعد التحقق من مصفوفة معاملات غير فارغة بمعامل رئيسي غير صفري، يفرّق المحرك مرتين بترتيب أعلى درجة أولًا وينظّف الأصفار الأمامية من الإلغاء الدقيق. تُنسَّق كثيرة حدود المشتقة الثانية للعرض، وعندما تكون درجتها واحدًا على الأقل تُمرَّر إلى مسار حتمي للجذور الحقيقية مشترك مع أدوات حساب تفاضلي نقية أخرى في الفهرس. عندما يكون كل معامل قريبًا من عدد صحيح، يوفّر مبرهنة الجذر النسبي مجموعة مرشحين منتهية؛ تُقشر الإصابات بالقسمة التركيبية فتتقلص التعددات والعوامل المتبقية بسرعة.

تُحل البقايا الخطية بالقسمة؛ وتستخدم البقايا التربيعية صيغة المميّز وتحتفظ بالجذور الحقيقية فقط. تُعزل الدرجات المتبقية الأعلى بلا مكتبات خارجية بإيجاد نقاط حرجة للبقايا تكراريًا، وتطبيق حدّ كوشي للمقدار، وتنصيف فترات تغيّر الإشارة، وصقل نيوتن حتى ينخفض البقايا وحجم الخطوة تحت عتبات إبسلون صارمة. تصبح الجذور الحقيقية المميزة المرتبة نقاط قطع جدول الإشارات.

يُختبر كل قطع مفتوح — من سالب اللانهاية إلى الجذر الأول، وبين جذور متتالية، ومن الجذر الأخير إلى موجب اللانهاية — عند نقطة وسط (أو خطوة وحدة بعد طرف غير محدود). تُصدَر القطع التي تقيّم فيها p″ موجبة تمامًا كفترات مفتوحة بطرف أيسر وأيمن وتدوين مضغوط مثل (0, +∞). لا تُدرج الجذور نفسها لأن التقعر للأعلى هنا يعني مشتقة ثانية موجبة تمامًا.

كيف تُدخل البيانات وكيف تقرأ النتيجة

مثال: واحد، صفر، سالب ثلاثة، صفر يمثل x مكعب ناقص ثلاثة x، ومشتقته الثانية ستة x، وهي موجبة تمامًا على الشعاع المفتوح (0, +∞). استخدم الأداة المجانية في المتصفح لفحوصات واجبات فردية وعروض محاضرات دون تثبيت Maxima أو مكدس NumPy محلي. النتائج حتمية بالكامل وآمنة للتثبيت في تجهيزات التكامل المستمر؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد أبدًا.

اقرن قائمة الفترات برسامك إن احتجت رسمًا للمنحنى ومناطق التقعر — تعيد هذه النقطة المجموعات المفتوحة حيث «يحمل» المنحنى الماء، لا شكلًا مرسومًا.

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل وفحص التقعر

يدخل الطلاب معاملات كثيرة الحدود ويتحققون من فترات التقعر للأعلى المفتوحة مقابل العمل اليدوي بالمشتقة الثانية وجدول الإشارات.

بنوك امتحانات وتصحيح آلي في LMS

ولّد تكعيبيات ورباعيات بفترات تقعّر معروفة وصحّح التسليمات مقابل هذا المُعرّف الحتمي p″(x)>0 بدل مطابقة سلاسل هشة.

دفاتر وسكربتات تصميم خفيفة

حدّد مناطق بشكل كأس على منحنيات استجابة منخفضة الدرجة في نماذج المعايرة أو التكلفة دون سحب حزمة جبر رمزي كاملة إلى خط الأنابيب.

الأسئلة الشائعة

كيف أجد فترات التقعر للأعلى لكثيرة حدود؟

أرسل المعاملات من أعلى درجة أولًا (مثل [1, 0, -3, 0] لـ x³ − 3x).

ماذا يعني التقعر للأعلى؟

على فترة مفتوحة ينحني المنحنى للأعلى (ككأس) عندما تكون المشتقة الثانية موجبة تمامًا، فتكون المشتقة الأولى متزايدة هناك.

لماذا تُستبعد جذور p″ من الفترات؟

التقعر للأعلى هنا يعني p″(x) > 0 بصرامة. عند جذر تكون p″ صفرًا، فتلك الإحداثيات أطراف فترات مفتوحة وليست نقاطًا داخلية للنتيجة.

ماذا يحدث إذا كانت كثيرة الحدود من الدرجة الثانية؟

تصبح المشتقة الثانية ثابتًا. فإن كان المعامل الرئيسي موجبًا كان خط الأعداد كله مقعرًا للأعلى، ويُكتب فترة واحدة من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية؛ وإن كان سالبًا جاءت القائمة فارغة.

هل يمكن أن يكون المستقيم أو الثابت مقعرًا للأعلى؟

لا. مشتقته الثانية صفر في كل مكان، فلا تكون موجبة تمامًا أبدًا، وتأتي قائمة الفترات فارغة بدل اختلاق فترة. يلزم كثير حدود من الدرجة الثانية أو أعلى.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0,-3,0]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0,
      -3,
      0
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0,
        -3,
        0
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0,-3,0]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/concave-up-intervals", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    1,
    0,
    -3,
    0
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.concave_up_intervals",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تحتاج فحوصات الواجبات ومنصات التدريس ومولّدات الامتحانات ودفاتر الهندسة الخفيفة الإجابة الحتمية نفسها لنفس المعاملات؛ تشترك أداة المتصفح المجانية وواجهة API المدفوعة مسبقًا في وحدة نقية واحدة، فلا تختلف الذهبية وسكربتات الإنتاج حول ما إذا كان التكعيبي مقعرًا للأعلى على نصف مستقيم أو في أي موضع.

معنى التقعر للأعلى لكثيرة حدود

اكتب كثيرة الحدود على صورة p من x تساوي a_n x مرفوعة إلى n زائد قوى أدنى حتى الحد الثابت a_0. فرّق مرتين بقاعدة القوة: يصبح كل a_k x مرفوعًا إلى k هو k a_k x مرفوعًا إلى k ناقص واحد، ثم مرة أخرى للمشتقة الثانية.

كيف يبني الحلّال جدول إشارات p″

يُقرَّب الضجيج شبه الصحيح لذهبية JSON مستقرة عبر بيئات التشغيل.

عقد الإدخال وشكل الاستجابة ومكان واجهة API

أرسل جسم JSON مع المصفوفة الإلزامية coefficients من أعداد منتهية، أعلى درجة أولًا؛ يُقبل الاسم البديل coeffs للتيسير. عند النجاح تعيد الاستجابة معاملات منظّفة وdegree وسلسلة مقروءة لكثيرة الحدود وقوائم معاملات المشتقتين الأولى والثانية وسلاسل العرض والجذور الحقيقية المرتبة للمشتقة الثانية ومصفوفة intervals بحقول left وright وnotation وinterval_count وتسمية formula بسطر واحد لواجهات المستخدم. الحقول الناقصة والمدخلات غير المنتهية والمعامل الرئيسي الصفر أو الدرجة فوق سقف الأمان تفشل بـ invalid_input ولا تُفوتر. استخدم واجهة API عندما تحتاج منصة تدريس أو بيئة تقييم كود أو مولّد منهج أو خط أنابيب دفاتر عقدًا مستقرًا تحت رصيد KIT مدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح.

أسئلة تقنية

ماذا عن كثيرات الحدود الخطية أو الثابتة؟

مشتقتها الثانية صفرية تطابقًا، فلا تكون موجبة تمامًا أبدًا. interval_count يساوي صفرًا وintervals مصفوفة فارغة.

كم تكلفة حاسبة فترات التقعر للأعلى؟

أداة المتصفح مجانية. تستخدم طلبات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل استدعاء ناجح؛ الإدخال غير الصالح لا يُفوتر.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

معنى التقعر للأعلى لكثيرة حدود

كيف يبني الحلّال جدول إشارات p″

كيف تُدخل البيانات وكيف تقرأ النتيجة

حالات الاستخدام

واجبات التفاضل وفحص التقعر

بنوك امتحانات وتصحيح آلي في LMS

دفاتر وسكربتات تصميم خفيفة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

معنى التقعر للأعلى لكثيرة حدود

كيف يبني الحلّال جدول إشارات p″

عقد الإدخال وشكل الاستجابة ومكان واجهة API

أسئلة تقنية

شكرًا