Intervalos de concavidad hacia arriba

Una gráfica dos veces diferenciable es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto cuando su segunda derivada es estrictamente positiva allí: la pendiente crece y la curva se curva como una taza que puede contener agua. Para un polinomio univariado dado por una lista de coeficientes, la segunda derivada es otro polinomio que se construye solo con la regla de la potencia y se analiza con un cuadro de signos clásico, sin calculadora gráfica, sin suscripción de álgebra computacional y sin una caja negra de coma flotante que discrepe del factorizado a mano. Esta calculadora de intervalos de concavidad hacia arriba acepta coeficientes del grado más alto al más bajo, forma p prima y p segunda, halla cada raíz real distinta de la segunda derivada, prueba los trozos abiertos de la recta real entre esas raíces y devuelve los intervalos abiertos donde p segunda permanece positiva, junto con cadenas polinómicas legibles para mostrar en clase.

Qué significa concavidad hacia arriba para un polinomio

La gráfica es cóncava hacia arriba en un intervalo abierto I cuando p segunda de x es estrictamente mayor que cero para todo x en I. En una raíz aislada de p segunda la segunda derivada vale cero, así que ese punto se excluye de todo intervalo abierto de concavidad hacia arriba aunque el signo sea positivo a ambos lados (tocamiento de multiplicidad par) o solo a un lado (cambio de signo de multiplicidad impar, el caso habitual de inflexión).

Las raíces complejas no reales de p segunda nunca aparecen en la lista de cortes porque un cuadro de signos en la recta real solo usa abscisas reales. Los polinomios de grado cero y de grado uno tienen segunda derivada idénticamente nula, de modo que nunca son estrictamente cóncavos hacia arriba en ningún intervalo abierto y la lista de resultados queda vacía en lugar de inventarse.

El grado dos produce una segunda derivada constante: si el coeficiente principal es positivo, toda la recta real es cóncava hacia arriba como un solo intervalo abierto de menos infinito a más infinito; si es negativo, la lista está vacía. Grados superiores producen una p segunda no constante cuyas raíces reales particionan la recta en un número finito de trozos abiertos que este solucionador etiqueta con notación de intervalos.

Cómo el solucionador construye el cuadro de signos de p″

Tras validar un arreglo de coeficientes no vacío con término principal no nulo, el motor diferencia dos veces en orden del grado más alto primero y limpia ceros iniciales por cancelación exacta. El polinomio de la segunda derivada se formatea para mostrar y, cuando su grado es al menos uno, se envía a un pipeline determinista de raíces reales compartido con otras herramientas puras de cálculo del catálogo.

Cuando todos los coeficientes están cerca de un entero, el teorema de la raíz racional aporta un conjunto finito de candidatos; los aciertos se extraen con división sintética para que multiplicidades y factores residuales se reduzcan con rapidez. Los residuales lineales se resuelven por división; los residuales cuadráticos usan la fórmula del discriminante y conservan solo raíces reales.

Los grados residuales superiores se aíslan sin bibliotecas externas localizando de forma recursiva puntos críticos del residual, aplicando una cota de magnitud de Cauchy, bisecando intervalos con cambio de signo y puliendo con Newton hasta que residual y tamaño de paso caen bajo umbrales epsilon estrictos. Las raíces reales distintas ordenadas se convierten en los puntos de corte del cuadro de signos.

Cada trozo abierto —de menos infinito a la primera raíz, entre raíces consecutivas y de la última raíz a más infinito— se prueba en un punto medio (o un paso unitario más allá de un extremo no acotado). Los trozos donde p segunda evalúa estrictamente positiva se emiten como intervalos abiertos con extremo izquierdo, extremo derecho y una notación compacta como (0, +∞). Las propias raíces nunca se incluyen porque aquí concavidad hacia arriba significa segunda derivada estrictamente positiva.