ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة التوسع الثنائي

يتوسع (a + b)^4 إلى a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4: أدخل القوة لترى كل حد مع معامله وأسسه، جاهزًا للمقارنة مع حلك. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

الأس n: 4

تحصل على

النص الأول: a
النص الثاني: b
عدد الحدود: 5
المعاملات: 1, 4, 6, 4, 1

توسّع نظرية ذات الحدين كمية من الشكل a زائد b مرفوعة إلى أس صحيح غير سالب إلى مجموع منتهٍ من أحاديات الحد. يحمل كل حد معاملًا ثنائيًا C من n اختَر k، والقوة المتبقية لـ a، والقوة الصاعدة لـ b، بحيث يرى الطلاب وخطوط الأنابيب ليس فقط سلسلة كثير الحدود المبسّطة بل بيانات المعاملات والأسس المنظّمة خلف كل مجموع جزئي.

ما هو التوسع الثنائي

يكتب التوسع الثنائي مقدارًا من الشكل (a + b) مرفوعًا إلى قوة صحيحة غير سالبة n على هيئة مجموع منتهٍ من الحدود. يتكوّن كل حد من معامل ثنائي C(n,k)، وقوة لـ a تتناقص من n إلى 0، وقوة لـ b تتزايد من 0 إلى n. والمعاملات هي الصف رقم n في مثلث باسكال؛ فعند القوة 4 تكون 1 و4 و6 و4 و1، ويصبح التوسع a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. وعند القوة 0 يبقى الثابت 1 وحده، وعند القوة 1 يبقى a + b.

متى تستخدمه والأخطاء الشائعة

يفيد التوسع في حل الواجبات والتحقق من إجابات الامتحانات ومقارنة المعاملات والأسس حدًا بحد. ومن الأخطاء الشائعة نسيان أن عدد الحدود n + 1 وليس n، أو الخلط بين أسّ a وأسّ b، أو إدخال أسّ سالب أو كسري. وتقود هذه الأسس إلى متسلسلة لا نهائية، لذلك ترفضها الحاسبة بدل أن تعرض نتيجة ناقصة. أما الأسس الصحيحة حتى 200 فتُوسَّع كاملة وبدقة.

ما الذي تعيده نظرية ذات الحدين وكيف تختارون n

اكتبوا التعبير كقوس مفتوح a زائد b قوس مغلق مرفوع إلى n، حيث n عدد صحيح غير سالب. تنص النظرية على أن التوسع يساوي المجموع من k يساوي صفرًا إلى n لـ C من n اختَر k ضرب a مرفوعًا إلى n ناقص k ضرب b مرفوعًا إلى k. لـ n يساوي صفرًا يكون التوسع الثابت واحدًا؛ ولـ n يساوي واحدًا هو ببساطة a زائد b؛ ولـ n أكبر تحصلون على n زائد واحد حدود معاملاتها صف باسكال المألوف.

تُرفض غير الصحيحة أيضًا حتى لا تزعم الاستجابة إنهاء متسلسلة لانهائية. يعيد الحقلان الاختياريان a و b تسمية الحدّين للعرض، فتتوسّعون x زائد y أو p زائد q دون تغيير الرياضيات.

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والامتحانات

يوسّع الطلاب والمصححون (a+b)^n لـ n صغيرة، ويقارنون المعاملات والقوى حدًا بحد، ويتلقون خطأ واضحًا عند إرسال أس سالب بالخطأ.

خطوط أنابيب رمزية خفيفة

تستدعي النصوص التي تحتاج معاملات ثنائية دقيقة وقوى أحادية الحد نقطة نهاية مدفوعة مسبقًا مستقرة بدل إعادة تنفيذ C(n,k) في كل لغة.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا كان n سالبًا؟

تنفّذ هذه القدرة التوسع الثنائي المنتهي الكلاسيكي للأعداد الصحيحة غير السالبة فقط؛ تُرفض الأسس السالبة ولا تُحاسب.

هل يمكنني إعادة تسمية a و b؟

نعم. يقبل الحقلان الاختياريان a و b معرّفات قصيرة (مثل a: "x"، b: "y") فيُعرض التوسع كـ (x + y)^n مع سلاسل حدود مطابقة.

كم عدد حدود (a + b)^n؟

دائمًا n + 1. وعند القوة الرابعة تحصل على خمسة حدود، a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4، ومعاملاتها 1 و4 و6 و4 و1.

من أين تأتي المعاملات؟

معامل كل حد هو المعامل الثنائي C(n,k)، وهو الصف رقم n في مثلث باسكال. وعند القوة الرابعة تكون المعاملات 1 و4 و6 و4 و1، وهي متناظرة من الطرفين.

ما أعلى قوة يمكن توسيعها؟

حتى القوة 200، وهذا يكفي لكل تمارين الصف. يُحسب كل معامل بدقة، وترى كل حد بأسس a وb الخاصة به، لا كثير الحدود المجمّع فقط.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-expansion

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-expansion \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-expansion", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-expansion",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-expansion", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/binomial-expansion", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "n": 4
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.binomial_expansion",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تحسب هذه القدرة ذلك التوسع بشكل حتمي بحساب صحيح دقيق، وترفض الأسس الصحيحة السالبة بخطأ واضح invalid_input، وتعيد JSON يمكن لمصححي الواجبات وتطبيقات التدريس وخدمات الجبر الخفيفة تثبيته في الاختبارات دون تثبيت نظام جبر حاسوبي.

ما الذي تعيده نظرية ذات الحدين وكيف تختارون n

أرسلوا الحقل المطلوب n كعدد صحيح JSON أو سلسلة صحيحة؛ تُقبل الأسماء البديلة power و exponent عند التوثيق. الأعداد الصحيحة السالبة invalid_input لأن هذا الناتج هو التوسع المنتهي الكلاسيكي في مقررات الجبر، لا المتسلسلة الثنائية المعمّمة اللانهائية للأسس الحقيقية. يحدّ المحرك n بمائتين لأمان Worker isolate مع تغطية كل تمارين الصف ومعظم خطوط الأنابيب الرمزية. المدخلات المتطابقة تنتج دائمًا JSON متطابقًا لأن المسار حسابي بحت بلا شبكة ولا بذرة عشوائية ولا ساعة حائط.

قراءة الحدود والمعاملات والقوى وسلسلة التوسع

يضم حقل expansion تلك الحدود بعلامتي زائد وناقص في كثير حدود مقروء، و identity يعيد صياغة قوس a زائد b إلى n يساوي ذلك التوسع للعرض السريع في الواجهات. استخدموا coefficients وحدها عندما تحتاجون أرقام صف باسكال فقط؛ و terms عندما يجب لبرمجيات التصحيح فحص الأسس منفصلة عن المعاملات؛ و expansion عندما يحتاج شخص أو تقرير سطرًا واحدًا. عند النجاح تعيد الاستجابة n وأسماء العرض a و b و term_count يساوي n زائد واحد ومصفوفة coefficients تسرد C من n اختَر صفرًا حتى C من n اختَر n. مصفوفة terms هي قلب العقد المنظّم: كل عنصر يشمل الفهرس k والمعامل الثنائي و power_a يساوي n ناقص k و power_b يساوي k وسلسلة حد قصيرة مثل أربعة a مكعب b لوسط n يساوي أربعة. المعاملات الكبيرة التي تتجاوز أعداد JSON الصحيحة الآمنة تُصدَر كسلاسل عشرية لحفظ الدقة دون انجراف عائم. تسمية method دائمًا binomial_theorem ليفرّع الكود اللاحق دون استشعار الأشكال. غياب n و n غير الصحيح و n فوق السقف و n السالب تفشل بـ invalid_input ولا تُحاسب. يجب أن يكون a و b المخصصان معرّفات قصيرة لتبقى سلاسل العرض آمنة لـ HTML وعروض SDK.

استخدام API والتسعير وسير الصف والحدود العملية

استدعوا حاسبة التوسع الثنائي المجانية في المتصفح لفحص الواجبات وعروض المحاضرة والتحقق السريع من الحساب الذهني دون تثبيت Maxima أو SymPy أو CAS محلي. اقرنوا هذه النقطة النهائية بمولّد مثلث باسكال عندما تريدون صفوفًا بلا قوى، أو بأدوات كثيرات الحدود عندما تكون الخطوة التالية القسمة التركيبية للنتيجة الموسَّعة. تنمو الدرجة وحجم المعاملات مع n، فابقوا الأسس ضمن السقف المنشور وفضّلوا مدخلات بمقياس الصف لأوراكل التصحيح. أرسلوا جسم JSON مع العدد الصحيح غير السالب المطلوب n وحقول السلسلة الاختيارية a و b لأسماء الحدّين. استخدموا API المدفوعة مسبقًا عندما تحتاج منصة تدريس أو بيئة تقييم برمجي أو مولّد منهج أو خط أنابيب جبري عقدًا مستقرًا تحت رصيد KIT بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ إخفاقات التحقق لا تستهلك الرصيد بعد رفض المحرك. يمكن لمن ينشرون SDK ربط مصفوفة terms مباشرة بجداول واجهة تعرض أعمدة المعامل وقوة a وقوة b — نفس الشكل الذي يراه الطلاب على الورق عند تطبيق نظرية ذات الحدين يدويًا.

حالات التكامل

التدريس ومولّدات المناهج

ينتج بنّاؤو الدروس توسعات ثنائية محلولة مع JSON منظّم لبطاقات الاستذكار وأوراق الخطوات وتمارين التصحيح التلقائي دون تضمين CAS كامل.

أسئلة تقنية

كيف أوسّع (a+b)^n بهذه الحاسبة؟

أرسلوا JSON مع n مضبوطًا على عدد صحيح غير سالب (مثل n: 4). تشمل الاستجابة معامل كل حد و power_a و power_b وسلسلة التوسع الكاملة.

هل حاسبة التوسع الثنائي مجانية؟

تعمل أداة المتصفح مجانًا على جهازكم. تستخدم استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ إخفاقات التحقق لا تُحاسب.

كيف تُعاد المعاملات الكبيرة؟

تستخدم المعاملات حسابًا صحيحًا دقيقًا. القيم ضمن أعداد JSON الصحيحة الآمنة أرقام؛ والقيم الأكبر سلاسل عشرية حتى لا تُفقد الدقة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

ما هو التوسع الثنائي

متى تستخدمه والأخطاء الشائعة

ما الذي تعيده نظرية ذات الحدين وكيف تختارون n

حالات الاستخدام

التحقق من الواجبات والامتحانات

خطوط أنابيب رمزية خفيفة

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

ما الذي تعيده نظرية ذات الحدين وكيف تختارون n

قراءة الحدود والمعاملات والقوى وسلسلة التوسع

استخدام API والتسعير وسير الصف والحدود العملية

حالات التكامل

التدريس ومولّدات المناهج

أسئلة تقنية

شكرًا