مولّد مثلث باسكال
اطلب 5 صفوف لتحصل على مثلث باسكال حتى الصف 1، 4، 6، 4، 1: خمسة عشر عددًا دقيقًا، كل منها مجموع العددين اللذين فوقه. مناسب لأوراق التمارين وفك ذات الحدين. مجانًا في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- N
- 5
- عدد الصفوف
- 5
- عدد المداخل
- 15
مثلث باسكال هو الترتيب الكلاسيكي لمعاملات ذات الحدين المستخدم في الجبر والاحتمالات والتوافيق والرياضيات المتقطعة. كل عدد داخلي هو مجموع العددين اللذين فوقه، فالصّف r يرمّز معاملات (a+b) مرفوعًا إلى r ناقص واحد. يلتقي به الطلاب عند فكّ كثيرات الحدود، وعدّ المسارات على شبكة، أو قراءة المعاملات في مبرهنة ذات الحدين. يحتاج المعلّمون ومدربو المسابقات جداول أعداد صحيحة دقيقة بدل الترميز العلمي المقرّب، وتحتاج السكربتات التي تغذي اختبارات الوحدة وسيطًا حتميًا يمكن تثبيته في التكامل المستمر. الطلبات ذات n دون واحد تفشل فورًا بخطأ تحقق واضح.
ما مثلث باسكال ومتى تحتاج أول n صفوف
ينظّم مثلث باسكال معاملات ذات الحدين بحيث يساوي المدخل في الصّف r عند الفهرس k ذي الأساس صفر C من r ناقص واحد يختار k. الصّف الأعلى واحد وحيد. كل صف لاحق يبدأ وينتهي بواحد، وكل مدخل داخلي هو مجموع الأبوين أعلاه يسارًا وأعلاه يمينًا في الصّف السابق.
تلك التكرارية مطابقة لهوية باسكال C من m يختار k تساوي C من m ناقص واحد يختار k ناقص واحد زائد C من m ناقص واحد يختار k، ولذلك يظهر المثلث كلما فككت (a زائد b) إلى القوة m، أو عددت مجموعات جزئية بحجم k من m عنصرًا، أو سرت في مسارات شبكية لا تتحرك إلا يمينًا وأعلى. كثيرًا ما تطلب أوراق الصف أول خمسة أو عشرة أو عشرين صفًا ليلاحظ المتعلمون التماثل وقوى الاثنين على مجاميع الصفوف وهوية عصا الهوكي في الأقطار.
تستخدم مقررات الاحتمال الصفوف ذاتها كمعاملات لتوسيع عملة عادلة. مقابلات البرمجة ومسائل المسابقات قد تطلب أحيانًا طباعة المثلث ضمن حدّ للحجم دون خطأ في الفاصلة العائمة على المداخل الوسطى. مولّد يعيد كتلة الصفوف كاملة لا معاملًا واحدًا يوافق نوايا البحث تلك: يُبحث عن مولّد مثلث باسكال أو جدول معاملات ذات الحدين أو حاسبة لأول n صفوف، لا عن دالة معزولة C من n يختار k فحسب.
حالات الاستخدام
تجهيزات حتمية للاختبارات والعروض
يمكن لمسارات العمل التي تغذي اختبارات الوحدة أو عروض التوافيق التفاعلية استدعاء وسيط باسكال نقي بدل إعادة تنفيذ تكرارية الصفوف بـ BigInt في كل لغة.
تدريس مبرهنة ذات الحدين وهوية باسكال
يمكن لصفحات الدرس عرض صفوف دقيقة من المثلث بجانب الهوية C(m,k)=C(m−1,k−1)+C(m−1,k) ليربط المتعلمون التكرارية بفكّ كثيرات الحدود.
الأسئلة الشائعة
ما العلاقة بين مثلث باسكال ومعاملات ذات الحدين؟
المدخل في الصّف r (أساس 1) عند الفهرس k ذي الأساس صفر هو C(r−1, k). تتبع المداخل الداخلية هوية باسكال: كل منها مجموع الأبوين فوقه.
ماذا يحدث إذا كان n دون 1؟
توليد مثلث باسكال يتطلب عدد صفوف موجبًا؛ تلك الاستدعاءات لا تُحصَّل.
كم صفًا يمكنني إنشاؤه دفعة واحدة؟
من صف واحد حتى 500 صف. يبقى كل عدد دقيقًا، حتى الأعداد الكبيرة في وسط الصفوف السفلى، فيمكنك طباعة المثلث أو نسخه دون تقريب.
كم يبلغ مجموع كل صف في مثلث باسكال؟
مجموع كل صف قوة من قوى العدد اثنين، أي أن مجموع كل صف ضعف مجموع الصف الذي قبله. واكتشاف هذا النمط مع تناظر كل صف تمرين صفي كلاسيكي.
كيف يُحسب كل عدد في المثلث؟
يبدأ كل صف وينتهي بالعدد 1، وكل عدد بينهما هو مجموع العددين الواقعين فوقه مباشرة. فمثلًا يأتي بعد الصف 1، 3، 3، 1 الصف 1، 4، 6، 4، 1.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/combo/pascal-triangle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/combo/pascal-triangle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/combo/pascal-triangle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/combo/pascal-triangle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/combo/pascal-triangle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"n": 5
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "combo.pascal_triangle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الحدود
max_n | 500 |
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
تعيد هذه القدرة أول n صفوف كـ JSON منظَّم مع حساب كل مدخل بـ BigInt حتى لا تفقد المعاملات الوسطى الكبيرة أي أرقام.
ما مثلث باسكال ومتى تحتاج أول n صفوف
تسليم أعداد صحيحة دقيقة كـ JSON يسهّل لصقها في الملاحظات ومقارنتها في الاختبارات أو عرضها بتخطيط مخصّص دون إعادة تنفيذ التكرارية في كل لغة تدرّسها.
كيف يبني هذا المولّد الصفوف ويتحقق من n ويعيد مداخل دقيقة
يتحقق المحرّك من أن n موجود كعدد صحيح منتهٍ لا يقل عن واحد ولا يزيد عن الحد الأعلى المنشور وهو خمس مئة. عند قبول n تخصّص التنفيذ n صفوف وتملأ كل صف بحساب BigInt: الموضع الأول والأخير واحد، وكل موضع داخلي مجموع المدخلين المتجاورين من الصّف السابق. لا يضرب هذا النهج مضاريب كبيرة ولا يقسم أبدًا، فتبقى كل معامل دقيقة حتى عندما تتجاوز المداخل الوسطى الدقة المزدوجة العادية. الحالات الحدّية صريحة: n يساوي واحدًا ينتج صفًا واحدًا يحوي واحدًا؛ n يساوي اثنين ينتج واحدًا ثم واحد واحد. أرسل جسم JSON يتضمن الحقل الصحيح الموجب الإلزامي n. القيم دون واحد تفشل فورًا بـ invalid_input لأن عدد صفوف غير موجب خارج النطاق المنشور لهذه القدرة، وتلك الاستدعاءات الفاشلة لا تُحصَّل. الحقول الناقصة وغير الصحيحة والقيم فوق الحد تفشل أيضًا بـ invalid_input. يُعاد كل معامل كرقم JSON إن دخل نطاق الأعداد الصحيحة الآمنة، وإلا كسلسلة عشرية حتى لا يفقد العملاء الأرقام الأعلى مرتبة. تردّ الاستجابة n وتتضمن المصفوفة الكاملة rows وتضيف row_count وentry_count المساوي لـ n في n زائد واحد على اثنين للراحة.
الاستخدام العملي والحدود والتسعير وقنوات التسليم
استخدم أداة المتصفح حين تريد جدولًا دقيقًا فوريًا لأول n صفوف أثناء دراسة مبرهنة ذات الحدين، أو التحقق من إجابة مسابقة، أو إعداد مادة دون تثبيت نظام جبر حاسوبي. أعداد الصفوف المقبولة من واحد إلى خمس مئة فتبقى عروض الصف والجداول التوافيقية ممكنة دون نمو ذاكرة غير محدود عند أحجام مرضية. لا نموذج لغوي ولا خدمة حساب خارجية ولا عشوائية، لذا تصلح القدرة للتثبيت في فحوص التكامل المستمر ومواد الدرس القابلة لإعادة الإنتاج. استخدم API حين يحتاج سكربت أو مدقق واجبات أو منصة دروس أو دفتر ملاحظات إلى JSON مستقر لقيم كثيرة من n بعقد واحد. كل طلب ناجح عنصر قابل للفوترة بسعر $0.002؛ فشل التحقق لا يستهلك الرصيد. النتائج حتمية بالكامل: نفس n ينتج دائمًا الحقول ذاتها rows وrow_count وentry_count. اربط نقطة النهاية بعروض توافيق وصناديق رمل لمقابلات البرمجة ودروس احتمال تحتاج توسيعات ذات حدين أو خطوات تمهيد صحيحة تفضّل فيها حساب باسكال الدقيق على حدسيات تقريبية أو ودجتات صندوق أسود معتمة لا تُظهر تكرارية الصفوف ولا قيد النطاق حين يكون n دون واحد.
حالات التكامل
التحقق من الواجبات والمسابقات
يؤكد الطلاب والمصححون أول n صفوف من معاملات ذات الحدين دون CAS محلي، بما في ذلك الحالات الحدّية n=1 والجداول الأكبر حيث تتجاوز المداخل الوسطى الأعداد الصحيحة الآمنة.
أسئلة تقنية
كيف أولّد مثلث باسكال بهذه الـ API؟
أرسل جسم JSON بالحقل الصحيح n (عدد الصفوف) إلى combo.pascal_triangle. تعيد الاستجابة rows كمصفوفات متداخلة من معاملات دقيقة، مع row_count وentry_count.
هل مولّد مثلث باسكال مجاني؟
أداة المتصفح تعمل مجانًا على جهازك. تستدعي استدعاءات API رصيد KIT المدفوع مسبقًا بسعر $0.002 لكل عنصر ناجح؛ إخفاقات التحقق لا تُحصَّل.
لماذا تُعاد بعض المداخل كسلاسل؟
المعاملات التي تتجاوز Number.MAX_SAFE_INTEGER تُعاد كسلاسل عشرية ليحافظ عملا JSON على الدقة الكاملة عبر BigInt. القيم الأصغر تبقى أرقام JSON.