Regra dos sinais de Descartes

A regra dos sinais de Descartes é o filtro clássico antes de caçar raízes de polinômios: só com os sinais dos coeficientes ela limita quantas raízes reais positivas e quantas negativas um polinômio univariado pode ter. Estudantes aprendem a regra no pré-cálculo e na álgebra; treinadores de olimpíadas usam para descartar contagens impossíveis; scripts de notebook usam como pré-checagem barata antes de solucionadores numéricos. Esta calculadora da regra dos sinais de Descartes aceita coeficientes do grau mais alto ao primeiro, ignora zeros intermediários ao contar, monta a sequência de coeficientes de p de menos x para o lado das raízes negativas e devolve ambos os totais de mudanças de sinal mais as listas completas de contagens admissíveis (k, k menos dois, até zero ou um).

O que a regra dos sinais de Descartes diz sobre raízes reais

Percorra a lista de coeficientes do grau máximo até a constante e conte cada vez que coeficientes não nulos consecutivos mudam de sinal; chame esse total de k. A regra de Descartes afirma que o número de raízes reais positivas de p, contadas com multiplicidade, é igual a k ou é menor que k por um inteiro par positivo. Em outras palavras, os totais admissíveis são k, k menos dois, k menos quatro, e assim por diante até zero ou um conforme a paridade de k.

Coeficientes zero são ignorados ao escanear sinais: uma potência ausente não cria nem destrói uma mudança por si só. Para raízes reais negativas aplique o mesmo procedimento ao polinômio q de x igual a p de menos x. Expandir p de menos x multiplica cada termo de grau ímpar por menos um, o que alterna exatamente os sinais dos coeficientes originais a partir do grau máximo segundo a paridade de cada potência.

Se essa sequência transformada tiver m mudanças de sinal, o número de raízes reais negativas é m ou m menos dois e assim por diante. A regra nunca inventa raízes e nunca afirma unicidade: só estreita o espaço de busca. Raízes complexas vêm em pares conjugados com coeficientes reais, por isso a subtração é sempre por um número par.

Contrato de entrada, formato da resposta e exemplos resolvidos

Zeros do meio são válidos e representam potências ausentes. Exemplo: coeficientes um, menos três, dois para x ao quadrado menos três x mais dois produz duas mudanças de sinal positivas, logo raízes positivas possíveis dois ou zero, e zero mudanças negativas, logo raízes negativas possíveis só zero. Exemplo: um, menos um, um, menos um para x ao cubo menos x ao quadrado mais x menos um produz três mudanças positivas (três ou uma raiz positiva possível) e zero mudanças negativas.

Arrays vazios, entradas não finitas e uma constante pura após o corte falham na validação e não são cobrados. Combine as contagens com o teorema da raiz racional ou um solucionador numérico quando precisar de valores reais de raiz; esta capacidade só responde à pergunta de mudanças de sinal.

Onde a regra dos sinais ajuda

Salas de aula e plataformas de tutoria expõem uma calculadora da regra dos sinais de Descartes para que aprendizes verifiquem lições de mudanças de sinal sem inverter à mão um sinal em p de menos x. Geradores de prova precisam de um oráculo determinístico que marque correta a lista de subtrações pares mesmo quando o estudante escreveu só o máximo.

Notebooks de engenharia usam o limite como pré-voo barato antes de um localizador de raízes polinomiais mais pesado: se a regra permite zero raízes positivas, não é preciso varrer primeiro o eixo positivo. Validação falha não consome saldo. Mantenha listas de coeficientes modestas, fixe nos testes os arrays esperados de raízes possíveis, e você obtém respostas educacionais e de automação reproduzíveis sem levantar um sistema de álgebra computacional para um escaneamento de sinais que livros usam há séculos.