Raíces n-ésimas de la unidad
Las raíces cuartas de la unidad son 1, i, -1 y -i, repartidas a 0°, 90°, 180° y 270° sobre el círculo unitario. Indique cualquier orden n de 1 a 360 y obtenga cada raíz en forma polar y rectangular. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- N
- 4
- Ecuación
- z^4=1
- Cantidad
- 4
Las raíces n-ésimas de la unidad son los números complejos que cumplen z elevado a n igual a uno. Se sitúan de forma uniforme sobre la circunferencia unidad del plano complejo como vértices de un n-ágono regular, partiendo del uno y avanzando un ángulo de dos pi entre n. El alumnado las encuentra en álgebra y análisis complejo al factorizar polinomios ciclotómicos, diagonalizar matrices circulantes o aplicar la transformada discreta de Fourier. Ingeniería y código de procesamiento de señales necesitan la misma lista en forma polar y rectangular sin desplegar un sistema completo de álgebra computacional. Esta calculadora de raíces n-ésimas de la unidad acepta un orden entero positivo n, evalúa cos y sin en dos pi k entre n para cada índice k desde cero hasta n menos uno, y devuelve módulo, argumento en radianes y grados, una cadena polar estilo cis y una cadena rectangular re más i im por cada raíz. El algoritmo es puro y determinista, de modo que comprobaciones de tareas, plugins LMS y workers de borde coinciden siempre en las mismas coordenadas redondeadas.
Qué son las raíces n-ésimas de la unidad y cómo se ordenan
Por definición, un número complejo omega es una raíz n-ésima de la unidad cuando omega elevado a n es igual a uno. El teorema de De Moivre ofrece una parametrización explícita: se escribe el uno en forma polar con módulo uno y argumento cero, y se obtienen las n raíces distintas espaciando el argumento en dos pi k entre n para el entero k desde cero hasta n menos uno.
En forma rectangular, omega sub k es el coseno de dos pi k entre n más i por el seno de dos pi k entre n. Geométricamente, los puntos son los vértices de un n-ágono regular inscrito en la circunferencia unidad e incluyen siempre el real uno cuando k es cero.
Para n igual a dos las raíces son uno y menos uno; para n igual a tres son uno y el par conocido menos un medio más o menos i por la raíz cuadrada de tres entre dos; para n igual a cuatro son uno, i, menos uno y menos i. Esta capacidad devuelve las raíces con k creciente, es decir en orden antihorario del argumento, para que los clientes puedan graficar o tabular sin reordenar.
Toda raíz tiene módulo exactamente uno (informado como uno tras el redondeo estable), y el producto de todas es uno o menos uno según n sea impar o par, en coherencia con el término independiente de z a la n menos uno.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de aula y deberes
Permita que el alumnado introduzca n y verifique todas las raíces n-ésimas de la unidad en forma polar y rectangular frente a las expansiones de De Moivre del libro.
Autoevaluación de exámenes y LMS
Califique ítems de números complejos con un oráculo determinista que devuelve raíces ordenadas y rechaza n no entero o fuera de rango.
Cuadernos DFT y ciclotómicos
Obtenga vértices de la circunferencia unidad para factores de giro DFT o demos ciclotómicas sin importar una biblioteca completa de álgebra computacional.
Preguntas frecuentes
¿Qué entrada necesita la calculadora?
Un único entero positivo n entre 1 y 360.
¿En qué forma se devuelven las raíces?
Cada raíz incluye partes rectangulares re e im, magnitude 1, ángulo en radianes y grados, más cadenas de visualización polar (cis) y rectangular.
¿Por qué todas las raíces de la unidad están en el círculo unitario?
Cada raíz tiene módulo exactamente 1, así que su distancia al origen es 1. Las n raíces forman los vértices de un polígono regular que empieza en 1 y avanza por el círculo en ángulos iguales.
¿Cuáles son las raíces cuartas de la unidad?
Son 1, i, -1 y -i, con ángulos de 0°, 90°, 180° y 270°. Al elevar cualquiera de ellas a la cuarta potencia se obtiene 1, y aparecen en sentido antihorario a partir de 1.
¿Qué valores de n acepta la calculadora?
Cualquier número entero de 1 a 360. El cero, los negativos y las fracciones se rechazan, porque el orden de una raíz de la unidad debe ser un entero positivo.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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"n": 4
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
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"https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 4
},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"n": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.roots_of_unity",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
La validación fallida (n ausente, n no entero o n fuera del rango permitido) produce invalid_input y no se factura.
Qué son las raíces n-ésimas de la unidad y cómo se ordenan
Las raíces primitivas son las de orden exactamente n (mcd de k y n igual a uno); el endpoint lista todas y deja el filtrado de primitividad al llamador cuando haga falta.
Contrato de entrada, campos de respuesta y errores de validación
En éxito el cuerpo repite n, una cadena de ecuación de la forma z elevado a n igual a uno, count igual a n, un array roots y una fórmula breve que reafirma la identidad cis. Ejemplo: n igual a cuatro produce cuatro raíces en argumentos cero, pi entre dos, pi y tres pi entre dos, correspondientes a uno, i, menos uno y menos i. Envíe un cuerpo JSON con un único campo obligatorio n: un entero positivo entre uno y trescientos sesenta inclusive. El límite superior mantiene predecible el tamaño de la respuesta en widgets del navegador y clientes API, y cubre órdenes habituales de aula y DSP como dos, tres, cuatro, cinco, seis, ocho, doce, dieciséis, treinta y dos, sesenta y cuatro y trescientos sesenta. Se aceptan cadenas numéricas que se parsean a un entero finito en rango; n ausente, cadenas vacías, no enteros, cero, negativos y valores por encima de trescientos sesenta fallan con invalid_input indicando el campo. Cada objeto raíz lleva k (índice base cero), re e im (partes rectangulares redondeadas para goldens estables), magnitude (siempre uno), angle_rad y angle_deg (argumento en radianes y grados), polar (cadena de visualización estilo cis) y rectangular (cadena legible re más o menos i im con manejo compacto de casos puramente reales o imaginarios). Combine la respuesta con su propio código de gráficos si necesita un diagrama de la circunferencia unidad; este endpoint solo calcula coordenadas y etiquetas y no emite dibujos ni demostraciones simbólicas paso a paso más allá del campo formula.
Dónde una API de raíces n-ésimas de la unidad aporta valor
Los cursos de álgebra y análisis complejo usan una calculadora de raíces de la unidad para que el alumnado compruebe ángulos polares y coordenadas rectangulares de un n arbitrario sin redondear a mano tablas de cosenos. Los generadores de exámenes y autoevaluadores LMS necesitan un oráculo determinista que rechace un n inválido en lugar de inventar raíces o truncar en silencio. La entrada inválida no consume saldo. Los cuadernos de transformada discreta de Fourier, demostraciones de polinomios ciclotómicos y utilidades de matrices circulantes necesitan una y otra vez los mismos vértices de la circunferencia unidad; llamar a una API parse diminuta evita embarcar un runtime de álgebra simbólica por un solo bucle trigonométrico. Como la implementación es parse puro de nivel A, cada llamada exitosa cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente.
Preguntas técnicas
¿Qué son las raíces n-ésimas de la unidad?
Son las n soluciones complejas de z^n = 1, dadas por ω_k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n) para k = 0, 1, …, n−1, espaciadas de forma uniforme sobre la circunferencia unidad.
¿Cómo se ordenan las raíces?
Por índice k creciente de 0 a n−1, es decir en orden antihorario del argumento empezando en 1 (la raíz real cuando k = 0).
¿Cuánto cuesta la calculadora de raíces n-ésimas de la unidad?
La herramienta del navegador es gratuita. Las solicitudes API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada exitosa; la entrada inválida no se factura.