ForHosting KIT · Mathématiques

Racines n-ièmes de l'unité

Les racines quatrièmes de l’unité sont 1, i, -1 et -i, réparties à 0°, 90°, 180° et 270° sur le cercle unité. Indiquez un ordre n de 1 à 360 et obtenez chaque racine sous forme polaire et algébrique. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

N: 4

Vous obtenez

Équation: z^4=1
Quantité: 4

Les racines n-ièmes de l'unité sont les nombres complexes qui satisfont z puissance n égal à un. Elles se placent régulièrement sur le cercle unité du plan complexe comme sommets d'un n-gone régulier, en partant de un et en avançant de l'angle deux pi sur n. Les étudiants les rencontrent en algèbre et en analyse complexe lorsqu'ils factorisent des polynômes cyclotomiques, diagonalisent des matrices circulantes ou appliquent la transformée de Fourier discrète. Les ingénieurs et le code de traitement du signal ont besoin de la même liste en forme polaire et rectangulaire sans déployer un système complet d'algèbre computationnelle. Ce calculateur des racines n-ièmes de l'unité accepte un ordre entier positif n, évalue cos et sin en deux pi k sur n pour chaque indice k de zéro à n moins un, et renvoie le module, l'argument en radians et en degrés, une chaîne polaire style cis et une chaîne rectangulaire re plus i im pour chaque racine. L'algorithme est pur et déterministe, de sorte que les contrôles de devoirs, les plugins LMS et les workers en périphérie s'accordent toujours sur les mêmes coordonnées arrondies.

Ce que sont les racines n-ièmes de l'unité et comment elles sont ordonnées

Par définition, un nombre complexe oméga est une racine n-ième de l'unité lorsque oméga puissance n vaut un. Le théorème de De Moivre donne une paramétrisation explicite : écrivez un sous forme polaire de module un et d'argument zéro, puis obtenez les n racines distinctes en espaçant l'argument de deux pi k sur n pour l'entier k de zéro à n moins un. Sous forme rectangulaire, oméga indice k est le cosinus de deux pi k sur n plus i fois le sinus de deux pi k sur n.

Géométriquement, les points sont les sommets d'un n-gone régulier inscrit dans le cercle unité, incluant toujours le réel un lorsque k vaut zéro. Pour n égal à deux les racines sont un et moins un ; pour n égal à trois ce sont un et la paire familière moins un demi plus ou moins i fois la racine carrée de trois sur deux ; pour n égal à quatre ce sont un, i, moins un et moins i.

Cette capacité renvoie les racines par k croissant, soit dans l'ordre antihoraire de l'argument, afin que les clients puissent tracer ou tabuler sans re-trier. Chaque racine a un module exactement un (rapporté comme un après arrondi stable), et le produit de toutes vaut un ou moins un selon que n est impair ou pair, en accord avec le terme constant de z à la n moins un.

Cas d’usage

Contrôles de cours et de devoirs

Laissez les étudiants saisir n et vérifier toutes les racines n-ièmes de l'unité en forme polaire et rectangulaire face aux développements de De Moivre du manuel.

Notation automatique d'examens et LMS

Notez les items de nombres complexes avec un oracle déterministe qui renvoie des racines ordonnées et rejette un n non entier ou hors plage.

Carnets DFT et cyclotomiques

Récupérez les sommets du cercle unité pour facteurs de rotation DFT ou démos cyclotomiques sans importer une bibliothèque complète d'algèbre computationnelle.

Questions fréquentes

Quelle entrée le calculateur exige-t-il ?

Un seul entier positif n entre 1 et 360.

Sous quelle forme les racines sont-elles renvoyées ?

Chaque racine inclut les parties rectangulaires re et im, magnitude 1, l'angle en radians et degrés, plus des chaînes d'affichage polaire (cis) et rectangulaire.

Pourquoi toutes les racines de l’unité sont-elles sur le cercle unité ?

Chaque racine a un module exactement égal à 1, donc sa distance à l’origine vaut 1. Les n racines forment les sommets d’un polygone régulier qui part de 1 et avance sur le cercle par angles égaux.

Quelles sont les racines quatrièmes de l’unité ?

Ce sont 1, i, -1 et -i, aux angles de 0°, 90°, 180° et 270°. Élever l’une d’elles à la puissance quatre donne 1, et elles sont listées dans le sens antihoraire à partir de 1.

Quelles valeurs de n le calculateur accepte-t-il ?

Tout nombre entier de 1 à 360. Zéro, les nombres négatifs et les fractions sont refusés, car l’ordre d’une racine de l’unité doit être un entier positif.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/roots-of-unity", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "n": 4
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.roots_of_unity",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Une validation échouée (n manquant, n non entier ou n hors plage autorisée) lève invalid_input et n'est pas facturée.

Ce que sont les racines n-ièmes de l'unité et comment elles sont ordonnées

Les racines primitives sont celles d'ordre exactement n (pgcd de k et n égal à un) ; le endpoint liste toutes les racines et laisse le filtrage de primitivité à l'appelant au besoin.

Contrat d'entrée, champs de réponse et erreurs de validation

En succès le corps répète n, une chaîne d'équation de la forme z chapeau n égal un, count égal à n, un tableau roots et une courte formule rappelant l'identité cis. Exemple : n égal à quatre produit quatre racines aux arguments zéro, pi sur deux, pi et trois pi sur deux, correspondant à un, i, moins un et moins i. Envoyez un corps JSON avec un seul champ obligatoire n : un entier positif entre un et trois cent soixante inclus. La borne supérieure garde la taille de réponse prévisible pour les widgets navigateur et les clients API, tout en couvrant les ordres courants de cours et de DSP tels que deux, trois, quatre, cinq, six, huit, douze, seize, trente-deux, soixante-quatre et trois cent soixante. Les chaînes numériques qui se parsent en un entier fini dans la plage sont acceptées ; n manquant, chaînes vides, non-entiers, zéro, négatifs et valeurs au-dessus de trois cent soixante échouent avec invalid_input en nommant le champ. Chaque objet racine porte k (indice base zéro), re et im (parties rectangulaires arrondies pour des goldens stables), magnitude (toujours un), angle_rad et angle_deg (argument en radians et degrés), polar (chaîne d'affichage style cis) et rectangular (chaîne lisible re plus ou moins i im avec gestion compacte des cas purement réels ou imaginaires). Associez la réponse à votre propre code de tracé si vous avez besoin d'un diagramme du cercle unité ; ce endpoint calcule uniquement coordonnées et libellés et n'émet ni graphiques ni preuves symboliques pas à pas au-delà du champ formula.

Où une API des racines n-ièmes de l'unité apporte de la valeur

Les cours d'algèbre et d'analyse complexe utilisent un calculateur de racines de l'unité pour que les apprenants vérifient angles polaires et coordonnées rectangulaires pour un n arbitraire sans arrondir à la main les tables de cosinus. Les générateurs d'examens et les correcteurs automatiques LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui rejette un n invalide au lieu d'inventer des racines ou de tronquer en silence. Une entrée invalide ne consomme pas le solde. Les carnets de transformée de Fourier discrète, les démos de polynômes cyclotomiques et les utilitaires de matrices circulantes ont besoin à répétition des mêmes sommets du cercle unité ; appeler une petite API parse évite d'embarquer un runtime d'algèbre symbolique pour une seule boucle trigonométrique. Comme l'implémentation est parse pure de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.

Questions techniques

Que sont les racines n-ièmes de l'unité ?

Ce sont les n solutions complexes de z^n = 1, données par ω_k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n) pour k = 0, 1, …, n−1, espacées régulièrement sur le cercle unité.

Comment les racines sont-elles ordonnées ?

Par indice k croissant de 0 à n−1, soit dans l'ordre antihoraire de l'argument en partant de 1 (la racine réelle lorsque k = 0).

Combien coûte le calculateur des racines n-ièmes de l'unité ?

L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Ce que sont les racines n-ièmes de l'unité et comment elles sont ordonnées

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Notation automatique d'examens et LMS

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Exemple de réponse

Tarifs

Erreurs

Notes techniques

Ce que sont les racines n-ièmes de l'unité et comment elles sont ordonnées

Contrat d'entrée, champs de réponse et erreurs de validation

Où une API des racines n-ièmes de l'unité apporte de la valeur

Questions techniques

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