De-Moivre-Potenzrechner für komplexe Zahlen

Dieser Potenzrechner nach dem Satz von De Moivre erhebt eine komplexe Zahl in Polarform in jede unterstützte ganzzahlige Potenz. Geben Sie den nichtnegativen Betrag, das Argument und den Exponenten ein und wählen Sie Grad oder Radiant. Der Rechner wendet den Satz unmittelbar an und liefert den neuen Betrag und das neue Argument zusammen mit Real- und Imaginärteil der kartesischen Darstellung. Er verarbeitet auch nullte und negative Potenzen, sofern sie mathematisch definiert sind. Damit können Sie Übungsaufgaben, technische Berechnungen und Softwaretests prüfen, ohne die Eingabe zuerst in die kartesische Form umzuwandeln.

Geben Sie eine komplexe Zahl in Polarform ein

Eine komplexe Zahl in Polarform wird durch Betrag und Argument beschrieben. Der Betrag entspricht dem Abstand vom Ursprung und muss daher in diesem Rechner null oder positiv sein. Das Argument gibt die Richtung der Zahl an und kann in Grad oder Radiant eingegeben werden.

Wählen Sie die Einheit Ihrer Ausgangsdaten, anstatt den Winkel vorher umzurechnen. Beispielsweise beschreiben ein Betrag von 2 und ein Argument von 30 Grad denselben Punkt wie ein Betrag von 2 und ein Argument von pi geteilt durch 6 Radiant. Die Potenz muss ganzzahlig sein, weil diese Funktion die Ganzzahlform des Satzes von De Moivre verwendet.

Positive Potenzen multiplizieren das Argument und vergrößern oder verkleinern zugleich den Betrag. Die Potenz null ergibt für jede von null verschiedene Eingabe das multiplikative Einselement. Negative Potenzen bilden Kehrwerte; deshalb wird ein Betrag von null mit negativem Exponenten abgelehnt.

Winkel werden nicht auf ein Hauptintervall normiert. Das unveränderte, multiplizierte Argument zeigt jeden Schritt des Satzes und bewahrt vollständige Umdrehungen, die für eine Herleitung wichtig sein können.

Verstehen Sie die Berechnung nach De Moivre

Der Satz von De Moivre besagt, dass eine komplexe Zahl in Polarform r mal Kosinus theta plus i Sinus theta, erhoben in eine ganze Zahl n, zu r hoch n mal Kosinus von n theta plus i Sinus von n theta wird. Der Rechner führt deshalb zwei zentrale Operationen aus: Er erhebt den Betrag in die gewählte ganzzahlige Potenz und multipliziert das Argument mit dieser Potenz. Anschließend wertet er Kosinus und Sinus des neuen Winkels aus, um die kartesischen Komponenten zu bestimmen.

Der Realteil ist der neue Betrag multipliziert mit dem Kosinus des neuen Arguments; der Imaginärteil ist der neue Betrag multipliziert mit dessen Sinus. Der ausgegebene Polarausdruck zeigt genau den Betrag und das Argument, die für die kartesische Umrechnung verwendet wurden. Da trigonometrische Funktionen periodisch sind, kann ein Argument von 450 Grad dieselbe Richtung wie 90 Grad bezeichnen.

Der nicht normierte Wert bleibt korrekt und dokumentiert die Multiplikation des Satzes unmittelbarer.

Lesen und prüfen Sie das Ergebnis

Die Antwort enthält den resultierenden Betrag, das Argument, die gewählte Winkeleinheit, Real- und Imaginärteil, einen lesbaren Polarausdruck und den Namen der Methode. Verwenden Sie Betrag und Argument, wenn Sie in Polarform weiterrechnen möchten, oder Real- und Imaginärteil für die übliche Form a plus bi. Zur schnellen Kontrolle können Sie prüfen, ob die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate beider Komponenten dem ausgegebenen Betrag entspricht; berücksichtigen Sie dabei die normale Gleitkommarundung.

Wenn die Potenz nicht null ist, können Sie außerdem das Ausgabeargument durch die Potenz teilen, um das Eingabeargument zurückzugewinnen. Negative Potenzen ergeben häufig einen gebrochenen Betrag und kehren bei einem ursprünglich positiven Winkel dessen Vorzeichen um. Eingaben werden nicht an externe Dienste gesendet, und der Algorithmus verwendet weder Zufall noch aktuelle Zeit oder Netzwerkdaten.

Ergebnisse außerhalb einer sinnvollen endlichen Zahlendarstellung werden abgelehnt, damit Sie Betrag oder Exponenten gezielt anpassen können.