ド・モアブルの定理による複素数のべき乗計算
絶対値2、偏角30°の複素数を3乗すると、絶対値8、偏角90°になり、実部は0、虚部は8です。絶対値・偏角・指数を度またはラジアンで入力でき、0乗や負の指数も定義される範囲で使えます。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 絶対値
- 2
- 偏角
- 30
- 電力
- 3
- 角度の単位
- Degrees
- 絶対値
- 8
- 偏角
- 90
- 実部
- 0
- 虚部
- 8
この計算ツールは、ド・モアブルの定理を用いて、極形式で表された複素数を対応範囲内の整数乗にします。0以上の絶対値、偏角、指数を入力し、角度の単位として度またはラジアンを選択してください。定理を直接適用し、新しい絶対値と偏角に加えて、直交形式の実部と虚部を返します。数学的に定義される場合は0乗と負の整数乗にも対応するため、入力を先に直交形式へ変換せずに、演習問題、工学計算、ソフトウェアテストの確認にご利用いただけます。
極形式の複素数を入力します
極形式の複素数は、絶対値と偏角で表します。絶対値は原点からの距離であるため、この計算ツールでは0以上の値を指定してください。偏角は複素数の方向を示し、度またはラジアンで入力できます。
事前に角度を変換するのではなく、元の資料に合う単位を選択してください。たとえば、絶対値が2で偏角が30度の点は、絶対値が2で偏角がpiを6で割ったラジアンの点と同じです。この機能はド・モアブルの定理の整数乗の形を適用するため、指数には整数を指定する必要があります。
正の指数では偏角を掛け合わせ、同時に絶対値を拡大または縮小します。0乗は、0でない入力に対して乗法単位元を返します。負の指数では逆数を求めるため、絶対値が0で指数が負の場合は計算できません。
偏角は主値の範囲へ正規化しません。掛け合わせた偏角をそのまま保持することで、定理の各手順を確認でき、導出で重要になることがある完全な回転も失われません。
ド・モアブルの計算方法を確認します
ド・モアブルの定理では、rとコサインthetaプラスiサインthetaの積で表される極形式の複素数を整数n乗すると、rのn乗とコサインn thetaプラスiサインn thetaの積になります。そのため、この計算ツールでは主に2つの処理を行います。絶対値を指定された整数乗にし、偏角をその指数倍にします。
続いて、得られた角度のコサインとサインを評価し、直交形式の成分を求めます。実部は新しい絶対値と新しい偏角のコサインの積、虚部は新しい絶対値とその偏角のサインの積です。返される極形式の式には、直交形式への変換に使ったものと同じ絶対値と偏角が表示されます。
三角関数には周期性があるため、450度と90度は同じ方向を示す場合があります。正規化していない値も正しく、定理で行った乗算をより明確に記録できます。
結果を読み取り検算します
結果には、計算後の絶対値、偏角、選択した角度単位、実部、虚部、読みやすい極形式の式、計算方法名が含まれます。極形式のまま計算を続ける場合は絶対値と偏角を、一般的なaプラスbiの形が必要な場合は実部と虚部をご利用ください。簡単に検算するには、実部の2乗と虚部の2乗の和の平方根が、通常の浮動小数点丸めを考慮したうえで返された絶対値と一致することを確認します。
指数が0でなければ、出力偏角を指数で割って入力偏角を復元することもできます。負の指数では絶対値が分数になることが多く、元の偏角が正なら角度の符号が反転します。入力は外部サービスへ送信されず、乱数、現在時刻、ネットワークデータも使用しません。
有用な有限数の範囲を超える結果は返さず、絶対値または指数を明示的に調整していただけるようエラーにします。
活用例
複素数の演習を確認します
整数乗の極形式と直交形式の結果を、定理で掛け合わせた偏角を表示したまま確認できます。
工学計算を検証します
極形式のフェーザを整数乗し、後続の確認に使える決定的な実部と虚部を取得できます。
ソフトウェアのテスト値を作成します
複素数のべき乗、極形式変換、三角恒等式を実装するコード向けに、安定した期待値を生成できます。
よくある質問
どの公式を使用しますか?
整数nに対して、[r(cos theta + i sin theta)]^n = r^n[cos(n theta) + i sin(n theta)]を使用します。
負の指数に対応していますか?
はい。 ただし、絶対値が0でない場合に限ります。負の指数では、べき乗した絶対値の逆数を取り、偏角は通常どおり乗算します。
返される偏角が1回転を超えるのはなぜですか?
ド・モアブルの定理の手順を保持するため、nとthetaの積を正規化せずに返します。同じ終辺を持つ角度は同じ方向を表します。
料金はいくらですか?
ブラウザの計算ツールでは、同じ純粋な計算をローカルで実行できます。
絶対値2、偏角30度の複素数を3乗するとどうなりますか?
絶対値を3乗し、偏角を3倍すると、絶対値8、偏角90度になります。直交形式では実部が0、虚部が8です。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/demoivre-power \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"modulus":2,"argument":30,"power":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/demoivre-power", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"modulus": 2,
"argument": 30,
"power": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/demoivre-power",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"modulus": 2,
"argument": 30,
"power": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/demoivre-power", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"modulus":2,"argument":30,"power":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"modulus":2,"argument":30,"power":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/demoivre-power", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"modulus": 2,
"argument": 30,
"power": 3
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.demoivre_power",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_abs_power | 1000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
ド・モアブルの計算方法を確認します
0に非常に近い浮動小数点の誤差は結果から取り除き、有限値は一貫した方法で丸めるため、同じ呼び出しから安定したJSONが得られます。
結果を読み取り検算します
APIの料金は1リクエストあたり$0.002で、ブラウザ版では同じ決定的な計算をローカルで実行できます。
技術的な質問
偏角をラジアンで入力できますか。
はい。angle_unitをradiansに設定すると、返される偏角もラジアンになります。