Kartesisch zu polar

Kartesische Koordinaten legen einen Punkt durch eine horizontale Komponente x und eine vertikale y fest. Die Polarform beschreibt denselben Punkt als nicht negativen radialen Abstand vom Ursprung und einen gerichteten Winkel, gemessen von der positiven x-Achse. Dieser Rechner von kartesisch nach polar nimmt jedes Paar endlicher Zahlen entgegen, berechnet den Radius mit hypot(x, y) und den Winkel in Grad mit atan2(y, x), sodass alle vier Quadranten und beide Achsen stimmen.

Was die Umrechnung von kartesisch nach polar bedeutet

In der kartesischen Ebene ist ein Punkt ein geordnetes Paar (x, y). Dieselbe geometrische Lage schreibt man in Polarform als Radius r und Winkel θ: r ist der geradlinige Abstand vom Ursprung zum Punkt, und θ ist der gerichtete Winkel von der positiven x-Achse zum Strahl durch den Punkt. Algebraisch ist r die euklidische Länge hypot(x, y), die nicht negative Wurzel aus x zum Quadrat plus y zum Quadrat, berechnet jedoch mit einem skalierten hypot, der über einen größeren Betragsbereich endlich bleibt als eine naive Wurzel einer Quadratsumme.

Der Winkel ist nicht der einargumentige Arkustangens von y geteilt durch x. Diese Unterrichts-Abkürzung verliert das Vorzeichen von x, versagt auf der negativen x-Achse und ist undefiniert, wenn x null ist. Die zweiargumentige Funktion atan2(y, x) kodiert den richtigen Zweig für alle vier offenen Quadranten und beide Achsen und liefert einen Wert im Intervall (−π, π] im Bogenmaß, den diese Funktion mit einhundertachtzig durch π multipliziert, damit der veröffentlichte Winkel stets in Grad in (−180, 180] liegt.

Ein Punkt auf der positiven x-Achse hat Winkel null. Einer auf der positiven y-Achse hat Winkel neunzig. Einer auf der negativen x-Achse hat Winkel einhundertachtzig.

Einer auf der negativen y-Achse hat Winkel minus neunzig. Das klassische Unterrichtspaar x gleich drei und y gleich vier hat Radius fünf und Winkel Arkustangens von vier Dritteln, etwa dreiundfünfzig Komma dreizehn Grad, die Erstquadranten-Prüfung jedes Lehrbuchs.

Quadranten, Genauigkeit und typische Einsätze

Der zweite Quadrant entlarvt den Fehler des einargumentigen Arkustangens. Der Punkt x gleich minus eins und y gleich eins hat Radius Wurzel aus zwei und Winkel einhundertfünfunddreißig Grad; atan von y über x würde fälschlich minus fünfundvierzig Grad melden, weil der Quotient minus eins ist. Der dritte Quadrant, etwa minus eins und minus eins, muss minus einhundertfünfunddreißig Grad liefern, nicht ein fünfundvierzig aus dem ersten Quadranten.

Der vierte, etwa eins und minus eins, muss minus fünfundvierzig liefern. Diese vier Prüfungen plus die vier Achsenstrahlen genügen, um zu beweisen, dass ein Umrechner atan2 nutzt und nicht einen geflickten atan. Es gibt keine Netzabfrage, keine Zufallsstichprobe und keine Abhängigkeit von der Wanduhr: identische endliche Eingaben erzeugen stets dieselbe Ausgabe, was die Funktion für Unit-Tests, CI-Pipelines und Offline-Blätter sicher macht.

Im Unterricht prüft man damit die Polarform einer komplexen Zahl a plus b i. Ingenieursskripte machen aus Real- und Imaginärteil einer Impedanz oder von FFT-Bins einen Betrag und eine Phase in Grad. Spiel- und Robotikcode wandelt einen Versatzvektor in Reichweite und Kurs um, ohne hypot- und atan2-Sonderfälle neu zu schreiben.