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Quadrat eines Binoms

Entwickeln Sie das Quadrat eines Binoms in einem Schritt: Aus (2x + 3)² wird 4x² + 12x + 9, mit dem führenden, dem mittleren und dem konstanten Koeffizienten a², 2ab und b². Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 2
B: 3

Erhalten Sie

Führender Term: 4
Linearer Term: 12
Konstante: 9
Binom: (2x + 3)^2

Das Quadrat eines Binoms ist das erste benannte Sonderprodukt, das jede Algebra-Schülerin und jeder Algebra-Schüler auswendig lernt: das Quadrat einer Summe ist das erste Quadrat plus das Doppelte des Produkts plus das zweite Quadrat. Auf ein lineares Binom geschrieben lautet diese Identität (ax plus b) zum Quadrat gleich a zum Quadrat mal x zum Quadrat plus zwei a b mal x plus b zum Quadrat, und die drei Zahlen rechts sind die quadratischen Koeffizienten eines vollständigen-Quadrat-Trinoms. Lernende suchen diese Ausmultiplikation unter dem Unterrichtsnamen Quadrat eines Binoms statt unter dem allgemeinen binomischen Lehrsatz und brauchen jene drei Koeffizienten sofort für Hausaufgaben, Arbeitsblatt-Lösungen und automatische Bewerter. Diese Fähigkeit nimmt die zwei endlichen Koeffizienten a und b entgegen, wendet die Identität ohne symbolische Engine an und liefert die Leit-, Linear- und konstanten Koeffizienten samt knappen Anzeigezeichenketten.

Was das Quadrat eines Binoms ist und wie die Identität ausmultipliziert

In der Schulalgebra ist das Quadrat eines Binoms ein benanntes Sonderprodukt, keine beliebige Potenz. Die beiden Lehrbuchfamilien sind (x plus y) zum Quadrat gleich x zum Quadrat plus zwei x y plus y zum Quadrat, und (x minus y) zum Quadrat gleich x zum Quadrat minus zwei x y plus y zum Quadrat. Mit einem Leitkoeffizienten ungleich eins lautet dieselbe Idee (a x plus b) zum Quadrat gleich a zum Quadrat x zum Quadrat plus zwei a b x plus b zum Quadrat.

Das Zuordnen dieser drei Glieder zu einer allgemeinen Quadratischen A x zum Quadrat plus B x plus C liefert drei fest gekoppelte Koeffizienten: das Leitglied ist a zum Quadrat, das lineare Glied ist das Doppelte von a mal b, und das konstante Glied ist b zum Quadrat. Diese drei Multiplikationen sind der gesamte Algorithmus.

Klassische Proben: a gleich eins und b gleich drei ergibt x zum Quadrat plus sechs x plus neun; a gleich zwei und b gleich drei ergibt vier x zum Quadrat plus zwölf x plus neun; und a gleich drei und b gleich minus zwei ergibt neun x zum Quadrat minus zwölf x plus vier. Ein negativer zweiter Koeffizient ist die Anforderung der Minus-Familie; es gibt kein gesondertes Vorzeichenflag, weil (a x minus b) bereits (a x plus negatives b) ist.

Null ist auf beiden Seiten zulässig: ist b null, lautet die Ausmultiplikation a zum Quadrat x zum Quadrat, und ist a null, lautet sie die Konstante b zum Quadrat. Die Identität ist auf gewöhnlichen Lehrbuchganzen exakt und wird nur auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit benachbarte Gleitkommawerte bytegenau über Laufzeiten hinweg vergleichen. Das ist nicht der binomische Lehrsatz für einen freien Exponenten n und auch kein Test, der fragt, ob ein gegebenes Trinom bereits ein Quadrat ist; es ist die Einweg-Ausmultiplikation von zwei Binomkoeffizienten zu drei quadratischen Koeffizienten.

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Bei Erfolg wiederholt der Körper die bereinigten Koeffizienten a und b; liefert leading gleich a zum Quadrat, linear gleich zwei a b und constant gleich b zum Quadrat; und fügt eine binomial-Zeichenkette wie (2x + 3) Zirkumflex zwei plus eine expanded-Zeichenkette wie 4x Zirkumflex zwei plus 12x plus 9 hinzu. Eine formula-Zeichenkette nennt die Identität erneut, damit ein Client die Regel neben den Zahlen drucken kann.

Beispiel: a gleich zwei, b gleich drei ergibt leading vier, linear zwölf, constant neun, binomial (2x + 3)^2 und expanded 4x^2 + 12x + 9. Beispiel der Minus-Familie: a gleich eins, b gleich minus fünf ergibt leading eins, linear minus zehn, constant fünfundzwanzig, binomial (x - 5)^2 und expanded x^2 - 10x + 25. Kombinieren Sie die Antwort mit Ihrem eigenen Grafikcode, wenn Sie die Skizze der Parabel brauchen, die die Achse gerade berührt; dieser Endpunkt multipliziert nur das Quadrat aus und liefert die drei quadratischen Koeffizienten.

Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie leading, linear und constant in Tests, und Sie erhalten ein reproduzierbares Trinom für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Edge-Worker, ohne ein Computeralgebrasystem aufzustellen.

Wo ein Ausmultiplizierer für das Quadrat eines Binoms sich lohnt

Unterrichtsräume und Nachhilfeplattformen nutzen einen Rechner für das Quadrat eines Binoms, damit Lernende die Identität des mittleren Glieds bestätigen, ohne sie mit einer allgemeinen Binomialentwicklung von (a plus b) hoch n zu verwechseln und ohne den inversen Test auszuführen, der fragt, ob ein fertiges Trinom zufällig ein Quadrat ist. Klausurgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das (2x plus 3) zum Quadrat zu vier, zwölf, neun ausmultipliziert und einen nichtendlichen Koeffizienten ablehnt, statt NaN zurückzugeben, das ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte.

Arbeitsblatt- und LMS-Erweiterungen, die Schülerinnen und Schüler die drei quadratischen Koeffizienten schreiben lassen, können zuerst diesen Endpunkt aufrufen, die Zahlen verbergen und dann das eingereichte Trinom mit leading, linear und constant vergleichen. Ingenieurhefte, die ein charakteristisches Polynom mit doppelter Nullstelle oder ein vollständiges-Quadrat-Residuum aufbauen, brauchen manchmal dieselbe Zwei-Koeffizienten-Ausmultiplikation, ohne ein Computeralgebrasystem zu ziehen. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.

Halten Sie die zwei Koeffizienten endlich, pinnen Sie die drei quadratischen Koeffizienten in Tests für die Lehrbuchidentitäten, die Ihnen wichtig sind, und Sie erhalten eine reproduzierbare Ausmultiplikation für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Automatisierungsskripte.

Anwendungsfälle

Klassen- und Hausaufgabenprüfungen

Lassen Sie Lernende a und b von (ax+b)² senden und die gelieferten Koeffizienten leading, linear und constant gegen die Sonderprodukt-Identität prüfen, die sie von Hand geschrieben haben.

Automatische Klausurbewertung und LMS

Bewerten Sie Aufgaben zum Quadrat eines Binoms mit einem deterministischen Orakel, das zu a², 2ab und b² ausmultipliziert und einen nichtendlichen Koeffizienten ablehnt, statt ein Trinom zu erfinden.

Arbeitsblattgeneratoren und Hefte

Bauen Sie Übungen um (ax+b)² oder setzen Sie eine Quadratische mit doppelter Nullstelle aus zwei Binomkoeffizienten zusammen, ohne eine vollständige Computeralgebra-Bibliothek zu importieren.

Häufige Fragen

Welche Identität verwendet das Quadrat eines Binoms?

Die Identität des vollständigen-Quadrat-Trinoms (ax+b)² = a²x² + 2abx + b². Ein negatives b ist die Anforderung von (ax−b)²; es gibt kein gesondertes Vorzeichenfeld.

Was geschieht, wenn ein Koeffizient fehlt oder keine endliche Zahl ist?

NaN, plus oder minus Infinity, leere Zeichenketten und nichtnumerische Werte werden abgelehnt und nicht berechnet.

Worin unterscheidet sich das von einer Binomialentwicklung oder einem Prüfer für vollständige-Quadrat-Trinome?

Ein allgemeiner Binomialentwickler behandelt (a+b)^n für jedes n. Ein Prüfer für vollständige-Quadrat-Trinome startet bei ax²+bx+c und fragt, ob es als Quadrat faktorisiert. Dieses Werkzeug multipliziert nur (ax+b)² aus den zwei Binomkoeffizienten aus.

Wie entwickle ich ein Binom mit Minus, etwa (3x − 2)²?

Geben Sie den zweiten Koeffizienten als negative Zahl ein. Mit 3 und −2 erhalten Sie 9x² − 12x + 4: Das mittlere Glied wird negativ, beide Quadrate bleiben positiv, eine eigene Vorzeichenoption ist also unnötig.

Was passiert, wenn einer der Koeffizienten null ist?

Null ist auf beiden Seiten erlaubt. Ist das konstante Glied null, bleibt nur a²x², ist der Faktor vor x null, schrumpft das Ergebnis auf die Konstante b².

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":3}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "b": 3
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "b": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"b":3}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 2,
  "b": 3
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.square_of_a_binomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Jeder Koeffizient, der keine endliche Zahl ist, wird mit invalid_input abgelehnt.

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit zwei erforderlichen endlichen Zahlen: a, dem Koeffizienten von x im Binom a x plus b, und b, dem konstanten Glied dieses Binoms. Jedes Feld darf als JSON-Zahl, numerische Zeichenkette oder einfacher Bruch wie drei Schrägstrich vier ankommen; die Aliase A oder first oder p sowie B oder second oder q werden akzeptiert, damit Skripte vorhandene Nutzlasten wiederverwenden, einschließlich der p und q, die der inverse Prüfer für vollständige-Quadrat-Trinome liefert. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, NaN sowie plus oder minus Infinity scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes. Diese Fehlschläge werden nicht berechnet.

Wo ein Ausmultiplizierer für das Quadrat eines Binoms sich lohnt

Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.

Technische Fragen

Wie entwickelt man das Quadrat eines Binoms (ax + b)²?

Senden Sie endliche Zahlen a und b. Die API liefert leading = a², linear = 2ab und constant = b² sowie Anzeigezeichenketten für (ax+b)² und das ausmultiplizierte Trinom.

Was kostet der Rechner für das Quadrat eines Binoms?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen das vorausbezahlte KIT-Guthaben zu $0.002 je erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →

Quadrat eines Binoms

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Was das Quadrat eines Binoms ist und wie die Identität ausmultipliziert

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

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Arbeitsblattgeneratoren und Hefte

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