ForHosting KIT · Mathematik

Vollständiges Quadrat

x² + 6x + 9 ist ein vollständiges Quadrat, (x + 3)², weil 6² = 4 × 1 × 9. Geben Sie die drei Koeffizienten ein und erfahren Sie, ob ax² + bx + c das Quadrat eines Binoms ist und wie es faktorisiert lautet. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 1
B: 6
C: 9

Erhalten Sie

Polynom: x^2 + 6x + 9
Diskriminante: 0
Leistung (W): 1
Q: 3

Ein quadratisches Trinom ax zum Quadrat plus bx plus c ist ein vollständiges Quadrat, wenn es genau dem Quadrat eines linearen Binoms entspricht. Das Ausmultiplizieren von (px plus q) zum Quadrat ergibt p zum Quadrat mal x zum Quadrat, plus das Doppelte von p q mal x, plus q zum Quadrat; die drei Koeffizienten sind also fest gekoppelt: das mittlere Glied ist das Doppelte des Produkts der äußeren Quadratwurzeln. Lernende begegnen diesem Muster als x zum Quadrat plus sechs x plus neun gleich (x plus drei) zum Quadrat, oder vier x zum Quadrat plus zwölf x plus neun gleich (zwei x plus drei) zum Quadrat, und suchen einen Prüfer für vollständige-Quadrat-Trinome statt eines allgemeinen quadratischen Faktorisierers. Diese Fähigkeit nimmt die drei Koeffizienten entgegen, prüft die Identität b zum Quadrat gleich vier a c mit positivem Leitkoeffizienten und liefert bei zutreffendem Test die Binomkoeffizienten p und q samt einer knappen faktorisierten Form. Schlägt die Identität fehl, beantwortet sie dennoch die Ja-Nein-Frage, statt eine Faktorisierung zu erfinden.

Was ein vollständiges-Quadrat-Trinom ist und wie der Test arbeitet

In der Schulalgebra ist ein vollständiges-Quadrat-Trinom eine dreigliedrige quadratische Funktion, die das Quadrat eines Binoms ist. Die beiden Lehrbuchfamilien sind x zum Quadrat plus zwei x y plus y zum Quadrat, also (x plus y) zum Quadrat, und x zum Quadrat minus zwei x y plus y zum Quadrat, also (x minus y) zum Quadrat. Mit einem Leitkoeffizienten ungleich eins lautet dieselbe Idee (p x plus q) zum Quadrat gleich p zum Quadrat x zum Quadrat plus zwei p q x plus q zum Quadrat.

Das Gleichsetzen der Koeffizienten mit a, b und c liefert daher drei Bedingungen: a gleich p zum Quadrat, c gleich q zum Quadrat und b gleich zwei p q. Diese drei verdichten sich zu einem einzigen arithmetischen Test, der kein Raten von Faktoren verlangt: der Leitkoeffizient muss strikt positiv sein, damit eine reelle Quadratwurzel p existiert, und die Diskriminante b zum Quadrat minus vier a c muss null sein, was genau besagt, dass b plus oder minus zwei mal die Wurzel aus a mal die Wurzel aus c ist.

Gelten beide, nimmt dieser Endpunkt p als nichtnegative Wurzel aus a und setzt q gleich b geteilt durch zwei p, sodass das Vorzeichen des mittleren Koeffizienten in q aufgeht und ein eindeutiges kanonisches Paar bleibt. Klassische Proben: eins, sechs, neun, ergibt (x plus drei) zum Quadrat; vier, zwölf, neun, ergibt (zwei x plus drei) zum Quadrat; und neun, minus zwölf, vier, ergibt (drei x minus zwei) zum Quadrat.

Ist der Leitkoeffizient negativ, kann das Trinom trotzdem eine doppelte reelle Nullstelle haben, aber es ist das Negative eines Quadrats und kein Quadrat, also lautet die Antwort kein vollständiges-Quadrat-Trinom über den Reellen. Ist die Diskriminante nicht null, sind die beiden linearen Faktoren, sofern sie existieren, ungleich, und das Muster greift nicht. Der Test ist auf gewöhnlichen Lehrbuchganzen exakt und verwendet eine relative Toleranz nur, damit benachbarte Gleitkommawerte, die null sein sollen, das Urteil nicht umkippen.

Wo ein Prüfer für vollständige-Quadrat-Trinome sich lohnt

Unterrichtsräume und Nachhilfeplattformen nutzen einen Rechner für vollständige-Quadrat-Trinome, damit Lernende die Identität des mittleren Glieds bestätigen, ohne sie mit einer allgemeinen AC-Faktorisierung oder mit einer quadratischen Ergänzung zu verwechseln, die eine Restkonstante lässt. Klausurgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das ein Nichtquadrat wie x zum Quadrat plus fünf x plus sechs als falsch markiert und einen nichtendlichen Koeffizienten ablehnt, statt NaN zurückzugeben, das ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte.

Arbeitsblatt- und LMS-Erweiterungen, die Schülerinnen und Schüler p und q für (p x plus q) zum Quadrat nennen lassen, können zuerst diesen Endpunkt aufrufen, die Faktorfelder verbergen und dann das eingereichte Binom mit den gelieferten Koeffizienten vergleichen. Ingenieurhefte, die ein charakteristisches Polynom mit doppelter Nullstelle oder ein vollständiges-Quadrat-Residuum reduzieren, brauchen manchmal denselben Drei-Koeffizienten-Test, ohne ein Computeralgebrasystem zu ziehen. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.

Halten Sie die drei Koeffizienten endlich, pinnen Sie p und q in Tests für die Lehrbuchidentitäten, die Ihnen wichtig sind, und Sie erhalten ein reproduzierbares Ja oder Nein plus die Binomkoeffizienten für Hausaufgaben, LMS-Erweiterungen und Edge-Worker.

Anwendungsfälle

Unterrichts- und Hausaufgabenprüfungen

Lassen Sie Lernende a, b und c senden, prüfen, ob ax²+bx+c ein vollständiges-Quadrat-Trinom ist, und die gelieferten p und q mit dem von Hand geschriebenen Binom vergleichen.

Automatische Klausur- und LMS-Bewertung

Bewerten Sie Aufgaben zum vollständigen-Quadrat-Trinom mit einem deterministischen Orakel, das bei ungleichen Faktoren false liefert und einen nichtendlichen Koeffizienten ablehnt, statt eine Faktorisierung zu erfinden.

Arbeitsblattgeneratoren und Notizbücher

Bauen Sie Übungen um (px+q)² oder klassifizieren Sie ein quadratisches Residuum mit doppelter Nullstelle, ohne eine vollständige Computeralgebra-Bibliothek zu importieren.

Häufige Fragen

Woran erkennt man, ob ax² + bx + c ein vollständiges-Quadrat-Trinom ist?

Senden Sie endliche Zahlen a (ungleich null), b und c. Das Trinom ist ein vollständiges Quadrat, wenn a positiv ist und b² = 4ac.

Warum muss a ungleich null sein, und warum positiv, um ein Quadrat zu sein?

Ist a null, ist der Ausdruck kein quadratisches Trinom und die Anfrage wird abgelehnt. Ist a negativ, kann das Polynom nicht das Quadrat eines reellen Binoms sein; selbst eine verschwindende Diskriminante bedeutet dann das Negative eines Quadrats.

Worin unterscheidet sich das von quadratischem Faktorisieren oder quadratischer Ergänzung?

Ein allgemeiner Faktorisierer trennt ungleiche Binome wie (x+2)(x+3). Quadratische Ergänzung schreibt stets a(x−h)²+k, auch wenn k nicht null ist. Dieser Prüfer beantwortet nur die Frage nach dem vollständigen-Quadrat-Trinom und liefert p und q, wenn der Rest null ist.

Woran erkenne ich, ob ax² + bx + c ein vollständiges Quadrat ist?

Der Leitkoeffizient a muss positiv sein, und b² muss genau 4ac ergeben. Dann ist der Term das Quadrat von (px + q), wobei p die Wurzel aus a ist und q gleich b geteilt durch 2p.

Was zeigt der Rechner, wenn kein vollständiges Quadrat vorliegt?

Er antwortet trotzdem klar mit Nein und zeigt den Wert von b² − 4ac, der in diesem Fall nicht null ist. Eine Faktorisierung wird nicht erfunden, Sie sehen also nie ein Quadrat, das es nicht gibt.

Funktioniert das auch mit negativem Mittelglied?

Ja. Das Vorzeichen wandert in das zweite Glied des Binoms: 9x² − 12x + 4 ist (3x − 2)². Die Prüfung verlangt nur einen positiven Leitkoeffizienten und b² gleich 4ac.

Kann ich Brüche als Koeffizienten eingeben?

Ja. Neben ganzen Zahlen und Dezimalzahlen akzeptiert der Rechner einfache Brüche wie 3/4 für jeden der drei Koeffizienten, sodass Sie Aufgaben aus dem Lehrbuch direkt übernehmen können.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":6,"c":9}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": 6,
    "c": 9
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": 6,
    "c": 9
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":6,"c":9}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6,"c":9}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/perfect-square-trinomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 1,
  "b": 6,
  "c": 9
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.perfect_square_trinomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Jeder Koeffizient, der keine endliche Zahl ist, wird mit invalid_input abgelehnt.

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Ist der Boolesche Wert falsch, werden diese drei Faktorfelder weggelassen statt als null gesendet, damit Clients, die null als Wert behandeln, sie nicht gesondert abfangen müssen. Kombinieren Sie die Antwort mit Ihrem eigenen Grafikcode, wenn Sie die Skizze der Parabel brauchen, die die Achse gerade berührt; dieser Endpunkt klassifiziert das Trinom und liefert, wenn es ein Quadrat ist, nur die Binomkoeffizienten. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit drei erforderlichen endlichen Zahlen: a, dem von null verschiedenen Leitkoeffizienten von x zum Quadrat; b, dem linearen Koeffizienten; und c, dem konstanten Glied. Jedes Feld darf als JSON-Zahl, numerische Zeichenkette oder einfacher Bruch wie drei Schrägstrich vier ankommen; die Aliase A oder leading, B oder linear und C oder constant werden akzeptiert, damit Skripte vorhandene Nutzlasten wiederverwenden. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, NaN sowie plus oder minus Infinity scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes. Bei Erfolg wiederholt der Körper stets die bereinigten Koeffizienten a, b und c; eine Polynomzeichenkette wie x Zirkumflex zwei plus sechs x plus neun; die Diskriminante b zum Quadrat minus vier a c; ein Boolesches is_perfect_square; und eine formula-Zeichenkette, die die Identität erneut nennt. Ist der Boolesche Wert wahr, enthält der Körper außerdem p und q, die Koeffizienten der faktorisierten Form von (p x plus q) zum Quadrat, sowie eine factored_form-Zeichenkette wie (x plus drei) Zirkumflex zwei. Beispiel: a gleich vier, b gleich zwölf, c gleich neun ergibt Diskriminante null, is_perfect_square true, p gleich zwei, q gleich drei und factored_form (2x + 3)^2. Gegenbeispiel: a gleich eins, b gleich fünf, c gleich sechs hat Diskriminante eins und liefert is_perfect_square false ohne p oder q.

Wo ein Prüfer für vollständige-Quadrat-Trinome sich lohnt

Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Grundpreis $0.002 ohne Modell-Token und ohne ausgehendes Netz.

Technische Fragen

Was wird geliefert, wenn das Trinom kein vollständiges Quadrat ist?

Eine Erfolgslast mit is_perfect_square auf false, plus die wiederholten Koeffizienten, die Polynomzeichenkette und die Diskriminante. Die Faktorfelder p, q und factored_form werden weggelassen, nicht auf null gesetzt.

Was kostet der Prüfer für vollständige-Quadrat-Trinome?

Das Browserwerkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →

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Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

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