Trinomio quadrato perfetto

Un trinomio quadratico ax al quadrato più bx più c è un quadrato perfetto quando coincide esattamente con il quadrato di un binomio lineare. Sviluppando (px più q) al quadrato si ottiene p al quadrato per x al quadrato, più il doppio di p q per x, più q al quadrato, così i tre coefficienti restano legati: il termine di mezzo è il doppio del prodotto delle radici quadrate esterne. Questa capacità accetta i tre coefficienti, verifica l'identità b al quadrato uguale a quattro a c con coefficiente direttore positivo e, quando il test vale, restituisce i coefficienti binomiali p e q insieme a una forma fattorizzata compatta. Quando l'identità fallisce risponde comunque alla domanda sì o no invece di inventare una scomposizione.

Che cos'è un trinomio quadrato perfetto e come funziona il test

Nell'algebra scolastica un trinomio quadrato perfetto è una quadratica a tre termini che è il quadrato di un binomio. Le due famiglie da manuale sono x al quadrato più due x y più y al quadrato, che è (x più y) al quadrato, e x al quadrato meno due x y più y al quadrato, che è (x meno y) al quadrato.

Ammettendo un coefficiente direttore diverso da uno, la stessa idea è (p x più q) al quadrato uguale a p al quadrato x al quadrato più due p q x più q al quadrato. Uguagliare i coefficienti con a, b e c dà quindi tre condizioni: a uguale a p al quadrato, c uguale a q al quadrato e b uguale a due p q.

Quelle tre si riducono a un solo test aritmetico che non richiede di indovinare i fattori: il coefficiente direttore deve essere strettamente positivo, così esiste una radice quadrata reale p, e il discriminante b al quadrato meno quattro a c deve essere zero, il che equivale a dire che b vale più o meno due volte la radice di a per la radice di c.

Controlli classici: uno, sei, nove, che dà (x più tre) al quadrato; quattro, dodici, nove, che dà (due x più tre) al quadrato; e nove, meno dodici, quattro, che dà (tre x meno due) al quadrato. Se il coefficiente direttore è negativo il trinomio può ancora avere una radice reale doppia, ma è l'opposto di un quadrato e non un quadrato, quindi la risposta non è un trinomio quadrato perfetto sui reali.

Il test è esatto sugli interi usuali da manuale e usa una tolleranza relativa solo perché valori in virgola vicini destinati a essere zero non capovolgano il verdetto.

Dove un verificatore di trinomio quadrato perfetto si giustifica

Le aule e le piattaforme di tutoraggio usano un calcolatore di trinomio quadrato perfetto perché gli studenti confermino l'identità del termine di mezzo senza confonderla con una scomposizione generale col metodo AC o con il completamento del quadrato che lascia una costante residua. I generatori di prove necessitano di un oracolo deterministico che segni come falso un non quadrato come x al quadrato più cinque x più sei e che rifiuti un coefficiente non finito invece di restituire NaN che un correttore difettoso potrebbe trattare come successo.

I quaderni di ingegneria che riducono un polinomio caratteristico a radice doppia o un residuo quadrato perfetto a volte necessitano dello stesso test a tre coefficienti senza tirare un sistema di algebra computazionale. Una convalida fallita non consuma saldo. Mantenga i tre coefficienti finiti, fissi p e q nei test delle identità da manuale che Le importano, e otterrà un sì o no riproducibile più i coefficienti del binomio per i compiti, i plugin LMS e i worker all'edge.