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Summe und Produkt der Wurzeln

Bei x^2 - 5x + 6 = 0 ergeben die Lösungen zusammen 5 und multipliziert 6, direkt aus den Koeffizienten abgelesen mit dem Satz von Vieta: Die Summe ist −b/a, das Produkt c/a. Ohne Lösungsformel. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 1
B: -5
C: 6

Erhalten Sie

Gleichung: x^2 - 5x + 6 = 0
Summe der Wurzeln: 5
Produkt der Wurzeln: 6

Schulalgebra, Aufnahmeprüfungen und Ingenieurvorbereitung stellen dieselbe schnelle Frage zu einer quadratischen Gleichung: Wie groß ist die Summe ihrer Wurzeln und wie groß ihr Produkt, wenn Sie nur die Koeffizienten a, b und c von a mal x im Quadrat plus b mal x plus c gleich null kennen. Sie brauchen nicht immer die einzelnen Wurzeln; Lehrbücher führen die Vieta-Relationen ein, damit Lernende auf einen Blick lesen, dass die Summe minus b durch a und das Produkt c durch a ist. Dieser Rechner für Summe und Produkt der Wurzeln nimmt genau diese drei endlichen Koeffizienten entgegen, lehnt einen verschwindenden Leitkoeffizienten ab, damit die Gleichung eine echte Quadratische bleibt, und liefert beide elementarsymmetrischen Werte mit einem kurzen Formelblock, den Sie neben der Antwort anzeigen können.

Was der Satz von Vieta aussagt

Für eine quadratische Gleichung mit den Koeffizienten a, b und c, wobei a nicht null ist, hängen Summe und Produkt der beiden Lösungen direkt von diesen Zahlen ab. Die Summe ist −b/a, das Produkt ist c/a. Bei x^2 - 5x + 6 = 0 ergibt das die Summe 5 und das Produkt 6, passend zu den Lösungen 2 und 3, ohne dass Sie diese berechnen müssen. Die Formeln gelten auch bei negativer Diskriminante, denn konjugiert komplexe Lösungen haben eine reelle Summe und ein reelles Produkt.

Wann Sie die Formeln nutzen und worauf Sie achten

Viele Prüfungsaufgaben verbieten bewusst die Lösungsformel und fragen nur nach Summe oder Produkt; so sparen Sie sich die Wurzel aus der Diskriminante. Bei einer doppelten Lösung ist die Summe das Doppelte und das Produkt das Quadrat dieser Lösung. Ein typischer Fehler ist das vergessene Minuszeichen bei der Summe. Ist a null, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, und der Rechner lehnt sie ab. Aus Summe und Produkt können Sie außerdem die normierte Gleichung x^2 − (Summe)x + (Produkt) zurückgewinnen.

Vieta für Quadratische: Summe und Produkt ohne Wurzeln zu finden

Für den Unterricht umgestellt gilt: die Summe der Wurzeln ist minus b geteilt durch a, und das Produkt ist c geteilt durch a. Genau diese beiden Formeln wertet dieser Endpunkt aus. Sie bleiben gültig, wenn die Diskriminante negativ ist: komplex konjugierte Wurzeln haben weiterhin eine reelle Summe und ein reelles Produkt gleich diesen Quotienten, sobald a, b und c reell sind.

Sie gelten auch für eine doppelte reelle Wurzel, wenn die Summe das Doppelte dieser Wurzel und das Produkt ihr Quadrat ist. Sie müssen nie die Quadratwurzel aus b im Quadrat minus vier a c berechnen, um eine Summe-oder-Produkt-Frage zu beantworten; deshalb verbieten Prüfungen die Lösungsformel oft absichtlich und erzwingen Vieta.

Anwendungsfälle

Vieta-Übungen im Unterricht

Lassen Sie Lernende a, b und c senden und Summe = −b/a sowie Produkt = c/a prüfen, ohne die einzelnen Wurzeln zu verraten.

Notebooks und monische Rekonstruktion

Bauen Sie in Skripten die Faktoren x² − (Summe)x + (Produkt) aus bekannten Koeffizienten ohne vollständiges CAS neu auf.

Häufige Fragen

Funktioniert das bei negativer Diskriminante?

Ja. Komplexe Wurzeln erfüllen Vieta weiterhin: reelle Summe und reelles Produkt sind −b/a und c/a bei reellen Koeffizienten. Der Rechner braucht die Diskriminante nicht.

Liefert der Rechner die einzelnen Wurzeln?

Nein. Er liefert nur Summe und Produkt aus den Koeffizienten.

Wie lauten die Formeln für Summe und Produkt der Lösungen?

Für eine quadratische Gleichung mit den Koeffizienten a, b und c ist die Summe der Lösungen −b/a und das Produkt c/a. Das ist der Satz von Vieta, der die Wurzel aus der Diskriminante ganz umgeht.

Warum darf a nicht null sein?

Ist der Leitkoeffizient null, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear, und hat keine zwei Lösungen zum Addieren oder Multiplizieren. Der Rechner lehnt sie ab, statt sie still als linear zu behandeln.

Gelten die Formeln auch bei einer doppelten Lösung?

Ja. Sind beide Lösungen dieselbe Zahl, ist die Summe das Doppelte dieser Lösung und das Produkt ihr Quadrat, genau das, was −b/a und c/a liefern.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 6
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "b": -5,
    "c": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 1,
  "b": -5,
  "c": 6
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.sum_product_of_roots",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Eingabevertrag, Antwortform und Fehlerverhalten

Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Beispiel: a gleich eins, b gleich minus fünf, c gleich sechs liefert Summe fünf und Produkt sechs, passend zu den Lehrbuchwurzeln zwei und drei, ohne diese Wurzeln je zurückzugeben. Kombinieren Sie die Antwort mit Ihrem eigenen Wurzelsucher nur, wenn Sie auch die einzelnen Lösungen brauchen; diese Fähigkeit ist absichtlich auf Summe und Produkt beschränkt, damit die Landingpage zur Suchabsicht von Lernenden passt, die genau diese Hausaufgabenphrase eingegeben haben. Senden Sie per POST einen JSON-Körper mit drei Pflichtfeldern a, b und c als endliche Zahlen für die Standardform a mal x im Quadrat plus b mal x plus c gleich null. Jedes Feld darf als JSON-Zahl oder numerische Zeichenkette eintreffen; fehlende Felder, leere Strings und nicht endliche Werte wie NaN oder Infinity scheitern mit invalid_input unter Nennung des Feldes. Bei Erfolg spiegelt der Körper a, b und c wider; eine equation-Zeichenkette, die die Quadratische zur Anzeige umschreibt; sum_of_roots gleich minus b durch a; product_of_roots gleich c durch a; ein formulas-Objekt, das beide Identitäten in kompaktem ASCII wiederholt; und eine kurze note, dass die Relationen über den Komplexen gelten.

Wo eine Summe-und-Produkt-API sich lohnt

Klassenzimmer und Tutorenplattformen nutzen einen eigenen Rechner für Summe und Produkt der Wurzeln, damit Lernende Vieta-Hausaufgaben prüfen können, ohne von einem vollen Wurzellöser verführt zu werden, der die Übung entwertet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie gerundete Summe und Produkt in Tests, und Sie erhalten reproduzierbare Vieta-Antworten für LMS-Plugins, Edge-Worker und Hausaufgaben-Bots ohne eigene symbolische Infrastruktur. Generatoren für Prüfungstraining brauchen ein deterministisches Orakel, das die beiden elementarsymmetrischen Werte bewertet und verschwindende Leitkoeffizienten als invalid_input ablehnt statt das Problem stillschweigend linear zu behandeln. Ingenieur- und Wissenschaftsnotebooks reduzieren oft charakteristische Gleichungen einfacher Systeme zweiter Ordnung auf eine Quadratische und brauchen nur Summe und Produkt für Dämpfungszahlen oder zum Rekonstruieren monischer Faktoren; ein kleiner Parse-API-Aufruf spart den Import eines Computeralgebrasystems für drei Divisionen. Weil die Implementierung reines Parse der Stufe A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz.

Integrationsbeispiele

Automatische Prüfungskorrektur und LMS

Bewerten Sie Summe-und-Produkt-Aufgaben mit einem deterministischen Orakel, das a = 0 ablehnt und nie Wurzeln erfindet.

Technische Fragen

Wie erhalte ich Summe und Produkt der Wurzeln von ax²+bx+c=0?

Senden Sie endliche Zahlen a (ungleich null), b und c. Die API liefert sum_of_roots = −b/a und product_of_roots = c/a, ohne die Wurzeln zu lösen.

Warum muss a ungleich null sein?

Ist a null, ist die Gleichung nicht quadratisch und das klassische Paar r1+r2=−b/a, r1·r2=c/a gilt nicht. Die Aufgabe scheitert mit invalid_input.

Was kostet der Rechner für Summe und Produkt der Wurzeln?

Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.

Vollständige KIT-Dokumentation lesen →