Nullstellen einer Funktion

Eine Nullstelle einer Funktion ist eine reelle Zahl x, an der der Graph die Abszissenachse trifft, also eine Lösung der Gleichung f von x gleich null. Algebrakurse, Einstufungstests und Analysis-Aufwärmungen verlangen diese Schnittpunkte für lineare, quadratische und einfache kubische Modelle. Dieser Nullstellenrechner nimmt die vier Koeffizienten einer elementaren algebraischen Funktion f(x) = a x hoch drei plus b x hoch zwei plus c x plus d entgegen, löst f(x) = 0 in geschlossener Form und liefert jede verschiedene reelle Nullstelle — oder meldet klar, dass keine existiert, wenn der Graph die Achse nie kreuzt. Führende Nullen senken lediglich den Grad, sodass dieselbe Form Geraden, Parabeln und Kubiken ohne ein eigenes Werkzeug je Familie abdeckt.

Was eine Nullstelle ist und wie die vier Koeffizienten den Grad festlegen

In der Klassensprache ist eine Nullstelle von f jede reelle Eingabe, die die Ausgabe verschwinden lässt. Graphisch sind das die Schnittpunkte mit der x-Achse; algebraisch sind es die reellen Wurzeln der Gleichung f von x gleich null. Dieser Endpunkt untersucht eine elementare algebraische Funktion in der dichten kubischen Form f(x) = a x hoch drei plus b x hoch zwei plus c x plus d.

Sie senden stets die vier endlichen Zahlen a, b, c und d. Die Engine liest den Grad dann am ersten von null verschiedenen Koeffizienten: ist a nicht null, ist das Modell kubisch; ist a null und b nicht, quadratisch; überlebt nur der lineare Koeffizient c, ist es eine Gerade; verschwinden a, b und c und d nicht, ist f eine von null verschiedene Konstante und der Graph eine Waagerechte, die die Achse nie trifft.

Nichtreelle komplexe Wurzeln werden absichtlich weggelassen: ein Arbeitsblatt mit „bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion“ will fast immer die reellen Achsenschnitte, und eine leere Liste plus eine klare Meldung ist die richtige Antwort, wenn eine Parabel ganz oberhalb oder unterhalb der Achse liegt. Die Vielfachheit steht neben jeder verschiedenen Nullstelle, sodass eine doppelte Wurzel wie (x minus eins) zum Quadrat einmal mit Vielfachheit zwei erscheint und nicht als verwirrendes Duplikat.

Wie der Löser jede reelle Nullstelle findet oder beweist, dass keine existiert

Der Algorithmus ist geschlossen und vollständig deterministisch. Eine lineare Funktion c x plus d mit c ungleich null hat genau eine Nullstelle bei x gleich minus d durch c. Eine Quadratik b x zum Quadrat plus c x plus d wird durch die Diskriminante D gleich c zum Quadrat minus vier b d klassifiziert: zwei verschiedene reelle Nullstellen, wenn D positiv ist, eine wiederholte reelle Nullstelle, wenn D null ist, und keine reellen Nullstellen, wenn D negativ ist.

Der Zweiwurzelfall nutzt eine numerisch stabile Paarung, damit ein großer linearer Koeffizient einen Schnitt nicht auslöscht. Eine echte Kubik wird durch die Verschiebung x gleich t minus b durch drei a depressiert, was t hoch drei plus p t plus q gleich null ergibt. Die kubische Diskriminante wählt dann den Zweig: Cardanos reelle Kubikwurzelformel bei einer einzigen reellen Wurzel, eine Identität für mehrfache Wurzeln, wenn die Diskriminante verschwindet, und die trigonometrische Form mit drei reellen Kosinuswerten, wenn die Diskriminante negativ ist.

Jeder Kandidat wird zurückverschoben, auf zwölf signifikante Stellen für stabile Goldens gerundet, angenähert wenn er bereits fast ganzzahlig ist, und nur behalten, wenn er f wirklich annulliert. Ist die Liste leer, bleibt der Aufruf ein Erfolg: „die Funktion hat keine reellen Nullstellen“ ist ein mathematisches Ergebnis, keine ungültige Eingabe.

So nutzen Sie den Rechner und lesen das Ergebnis

Nutzen Sie das kostenlose Browserwerkzeug für einzelne Hausaufgabenprüfungen, Vorlesungsdemos und schnelle Plausibilitätstests ohne ein Computeralgebrasystem zu installieren. Wer „Nullstellenrechner Funktion“ oder „Nullstellen einer Funktion bestimmen“ eingibt, will diese schnittpunktnahe Sprache, keine allgemeine Polynomwurzel-Pipeline mit beliebigem Koeffizientenvektor. Der Grad ist durch die Viererform auf drei begrenzt; das ist der elementare algebraische Bereich von Algebra I und Algebra II.

Quelleneingaben folgen denselben Aufbewahrungsregeln wie andere KIT-Parse-Elemente. Validierungsfehler verbrauchen nie Guthaben, nachdem die Engine die Anfrage ablehnt, sodass Sie fehlende Felder und den Nullfunktionsfall prüfen können, ohne vorausbezahlte Elemente auszugeben.