Soma e produto das raízes
Em x^2 - 5x + 6 = 0 as raízes somam 5 e o produto delas é 6, lidos direto dos coeficientes pelas relações de Vieta: a soma é −b/a e o produto, c/a. Sem fórmula de Bhaskara. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- Equação
- x^2 - 5x + 6 = 0
- Soma das raízes
- 5
- Produto das raízes
- 6
A álgebra do ensino médio, os vestibulares e a preparação de engenharia fazem a mesma pergunta rápida sobre uma quadrática: qual é a soma de suas raízes e qual é o produto delas quando você só conhece os coeficientes a, b e c de a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c igual a zero. Nem sempre é preciso achar as raízes uma a uma; os livros apresentam as relações de Vieta para que o aluno leia de relance que a soma é menos b sobre a e o produto é c sobre a. Esta calculadora de soma e produto das raízes aceita esses três coeficientes finitos, rejeita coeficiente líder nulo para manter a equação verdadeiramente quadrática e devolve os dois valores simétricos elementares com um bloco curto de fórmulas que você pode exibir ao lado da resposta.
Vieta para uma quadrática: soma e produto sem achar as raízes
Reordenadas para a sala de aula, a soma das raízes é menos b dividido por a, e o produto é c dividido por a. Continuam válidas quando o discriminante é negativo: raízes complexas conjugadas ainda têm soma e produto reais iguais a essas razões sempre que a, b e c forem reais. Também valem para uma raiz real dupla, quando a soma é o dobro dessa raiz e o produto é o seu quadrado.
Você nunca precisa calcular a raiz quadrada de b ao quadrado menos quatro a c para responder a uma pergunta de soma ou produto, e por isso provas costumam proibir de propósito a fórmula quadrática e forçar o uso de Vieta.
Casos de uso
Exercícios de Vieta em sala
Permita que alunos enviem a, b e c e verifiquem soma = −b/a e produto = c/a sem revelar as raízes individuais.
Cadernos e reconstrução mônica
Reconstrua em scripts os fatores x² − (soma)x + (produto) a partir de coeficientes conhecidos sem um CAS completo.
Perguntas frequentes
Funciona quando o discriminante é negativo?
Sim. Raízes complexas ainda satisfazem Vieta: a soma e o produto reais valem −b/a e c/a com coeficientes reais. A calculadora não precisa do discriminante.
A calculadora devolve as raízes individuais?
Não. Só devolve soma e produto a partir dos coeficientes.
Quais são as fórmulas da soma e do produto das raízes?
Para uma equação do segundo grau com coeficientes a, b e c, a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. São as relações de Vieta, que dispensam totalmente a raiz do discriminante.
Por que a não pode ser zero?
Com o coeficiente líder igual a zero, a equação deixa de ser do segundo grau e vira linear, então não há duas raízes para somar ou multiplicar. A calculadora a recusa em vez de tratá-la como linear.
As fórmulas valem para uma raiz dupla?
Sim. Quando as duas raízes são o mesmo número, a soma é o dobro dessa raiz e o produto é o quadrado dela, exatamente o que −b/a e c/a dão.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/sum-product-of-roots", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.sum_product_of_roots",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Vieta para uma quadrática: soma e produto sem achar as raízes
Essas duas fórmulas são exatamente o que este endpoint avalia.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
Validação falha não é cobrada. Exemplo: a igual a um, b igual a menos cinco, c igual a seis produz soma cinco e produto seis, batendo com as raízes de livro dois e três sem nunca devolver essas raízes. Combine a resposta com o seu próprio buscador de raízes só quando também precisar das soluções individuais; esta capacidade limita-se de propósito a soma e produto para que a landing combine com a intenção de busca de quem digitou exatamente essa frase de lição de casa. Envie por POST um corpo JSON com três números finitos obrigatórios chamados a, b e c para a forma padrão a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c igual a zero. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; campos ausentes, strings vazias e valores não finitos como NaN ou Infinity falham com invalid_input nomeando o campo. Em sucesso o corpo ecoa a, b e c; uma string equation que reescreve a quadrática para exibição; sum_of_roots igual a menos b sobre a; product_of_roots igual a c sobre a; um objeto formulas reafirmando ambas as identidades em ASCII compacto; e uma nota curta de que as relações valem sobre os complexos.
Onde uma API de soma e produto vale a pena
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora dedicada de soma e produto das raízes para que alunos confira deveres de Vieta sem se deixar tentar por um solver completo de raízes que estraga o exercício. Mantenha requisições pequenas, fixe a soma e o produto arredondados nos testes e você obtém respostas de Vieta reproduzíveis para plugins LMS, workers de borda e bots de lição de casa sem montar infraestrutura simbólica própria. Geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que corrija os dois valores simétricos elementares e rejeite coeficientes líderes nulos como invalid_input em vez de tratar o problema em silêncio como linear. Cadernos de engenharia e ciência costumam reduzir equações características de sistemas de segunda ordem a uma quadrática e só precisam da soma e do produto para razões de amortecimento ou para reconstruir fatores mônicos; chamar uma pequena API de parse evita importar um sistema de álgebra computacional por três divisões. Como a implementação é parse puro tier A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Casos de integração
Correção automática de provas e LMS
Corrija itens de soma e produto com um oráculo determinístico que rejeita a = 0 e nunca inventa raízes.
Perguntas técnicas
Como obter a soma e o produto das raízes de ax²+bx+c=0?
Envie números finitos a (não nulo), b e c. A API devolve sum_of_roots = −b/a e product_of_roots = c/a sem resolver as raízes.
Por que a deve ser diferente de zero?
Se a for zero, a equação não é quadrática e o par clássico r1+r2=−b/a, r1·r2=c/a não se aplica. A tarefa falha com invalid_input.
Quanto custa a calculadora de soma e produto das raízes?
A ferramenta do navegador é grátis. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.