Máximo e mínimo de ax²+bx+c
Encontre o ponto de virada de uma parábola num passo só: f(x) = x² − 6x + 5 tem mínimo −4 quando x vale 3, porque a é positivo e o gráfico abre para cima. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- A
- 1
- B
- -6
- C
- 5
- Valor
- -4
- Equação
- f(x) = x^2 - 6x + 5
- Tipo
- minimum
- X
- 3
Uma função quadrática f de x igual a a vezes x ao quadrado mais b vezes x mais c se representa como uma parábola. O coeficiente líder a decide a orientação: quando a é positivo os braços abrem para cima e o ponto de virada é um mínimo global; quando a é negativo abrem para baixo e o ponto de virada é um máximo global. Esta calculadora de máximo e mínimo quadrático localiza esse ponto de virada sem cálculo diferencial. A entrada onde o extremo ocorre é sempre x igual a menos b sobre dois a, e o valor extremo é a função avaliada ali, de modo equivalente c menos b ao quadrado sobre quatro a. Envie os três coeficientes finitos. A resposta nomeia o tipo de extremo a partir do sinal de a, devolve a entrada x e devolve o próprio valor extremo. Não há chamada de rede, nem amostragem, nem data.
Por que o sinal de a decide um máximo ou um mínimo
Toda quadrática não degenerada é uma parábola, e uma parábola tem exatamente um ponto de virada. Completar o quadrado reescreve f de x como a vezes parêntese aberto x menos h parêntese fechado ao quadrado mais k, com h igual a menos b sobre dois a e k igual a c menos b ao quadrado sobre quatro a. O fator ao quadrado nunca é negativo, então o menor valor possível é zero, o que acontece só em x igual a h.
Se a é positivo, a vezes esse quadrado é pelo menos zero e f de x é pelo menos k: o vértice é um mínimo global e o gráfico abre para cima. Se a é negativo, a vezes esse quadrado é no máximo zero e f de x é no máximo k: o vértice é um máximo global e o gráfico abre para baixo.
O cálculo diferencial chega ao mesmo par: a primeira derivada dois a x mais b se anula em x igual a menos b sobre dois a, e a segunda derivada dois a é positiva para um mínimo e negativa para um máximo.
Essa é a busca que as pessoas digitam como calculadora de máximo e mínimo quadrático: não as raízes de uma equação, não um foco e uma diretriz geométricos, e não uma conversão à forma do vértice por si só, mas o valor extremo e a entrada onde ele ocorre. O eixo de simetria é a mesma reta vertical x igual a h, então a resposta também é o ponto alto ou baixo que você leria num esboço.
Quando a é exatamente zero a identidade desaba e não há vértice único, o que esta capacidade recusa em vez de fingir que uma expressão linear ou constante tem um extremo quadrático.
Contrato de entrada, campos da resposta e números resolvidos
Se a é zero, ou tão perto de zero que não define uma parábola, a solicitação é rejeitada porque ax ao quadrado mais bx mais c seria linear ou constante e não teria um máximo ou mínimo quadrático único.
Em caso de sucesso o corpo ecoa a, b e c após arredondamento estável; uma string de equação reescrita como f de x para exibição; kind como maximum ou minimum; x como a abscissa do vértice; value como o valor extremo da função; vertex como o array de dois elementos dessas coordenadas; opens como up ou down; e uma string formula que reafirma as formas fechadas. Campos opcionais que não se aplicam são omitidos, nunca devolvidos como null.
Exemplo de um mínimo: a igual a um, b igual a menos seis, c igual a cinco dá f de x igual a x ao quadrado menos seis x mais cinco, opens up, kind minimum, x igual a três e value igual a menos quatro, porque a fórmula do vértice produz três e um vezes nove menos seis vezes três mais cinco é menos quatro.
Exemplo de um máximo: a igual a menos dois, b igual a oito, c igual a menos três dá f de x igual a menos dois x ao quadrado mais oito x menos três, opens down, kind maximum, x igual a dois e value igual a cinco. Combine a resposta com o seu próprio traçador se precisar de um esboço; esta capacidade informa só o extremo e não emite gráficos, raízes nem prosa em vários passos além do campo formula.
O arredondamento a doze dígitos mantém os goldens estáveis entre runtimes sem inventar casas extras.
Quem usa o cálculo de máximo e mínimo
Os cursos de álgebra apresentam o vértice como o primeiro problema de otimização que não precisa de cálculo diferencial, e os vestibulares ainda pedem que se diga se uma quadrática dada tem um máximo ou um mínimo e que se nomeiem a entrada e o valor. Plataformas de tutoria e corretores LMS precisam de um oráculo determinístico que classifique o sinal de a e avalie k em vez de aceitar um vértice que um aluno calculou com o sinal errado em b. Validação falha não consome saldo.
Mantenha as solicitações pequenas, trate a igual a zero como erro duro, e você obtém extremos reproduzíveis para lição de casa, plugins e workers de borda sem levantar infraestrutura simbólica própria. Ferramentas relacionadas que resolvem raízes, completam o quadrado ou listam dados geométricos do foco respondem a outras perguntas; use esta quando a pergunta for o valor extremo e onde ele ocorre.
Casos de uso
Conferência do vértice em sala
Deixe os alunos enviarem a, b e c e verificarem se a quadrática tem um máximo ou um mínimo, além da entrada do vértice e do valor extremo.
Correção automática de provas e LMS
Avalie itens de máximo e mínimo com um oráculo determinístico que rejeita a igual a zero e nunca inventa um ponto de virada para uma expressão linear.
Cadernos e modelos quadráticos
Avalie o pico ou o vale de uma parábola ajustada num script sem importar uma biblioteca completa de álgebra computacional.
Perguntas frequentes
Como acho o máximo ou o mínimo de ax² + bx + c?
Envie números finitos a (diferente de zero), b e c. Se a > 0 o resultado é um mínimo; se a < 0 é um máximo.
Como o sinal de a decide entre máximo e mínimo?
Um coeficiente líder positivo abre a parábola para cima, então o vértice é o mínimo global. Um coeficiente líder negativo a abre para baixo, então o vértice é o máximo global.
O que acontece se a for zero?
Quando a é zero a expressão é linear ou constante e não tem um máximo ou mínimo quadrático único. Essa falha não é cobrada.
O vértice é o mesmo que o valor extremo?
O vértice é o ponto (x, value). O campo x é a entrada onde o extremo ocorre; value é o máximo ou o mínimo em si; kind diz qual dos dois é.
Como acho o ponto mais baixo de x² − 6x + 5?
Calcule −b/(2a), que nessa função dá 3: é ali que está o mínimo. O valor nesse ponto, c − b²/(4a), é −4, então o ponto mais baixo da parábola é (3, −4).
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-6,"c":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-6,"c":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-6,"c":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-max-min", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"a": 1,
"b": -6,
"c": 5
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_max_min",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Quando a é zero a expressão não é quadrática e a tarefa falha com invalid_input em vez de inventar um vértice. Chamadas API bem-sucedidas são cobradas a US$ 0,002; falhas de validação não são cobradas.
Por que o sinal de a decide um máximo ou um mínimo
Este endpoint nunca diferencia e nunca completa o quadrado como reescrita intermediária; avalia as duas formas fechadas e classifica o resultado pelo sinal de a.
Contrato de entrada, campos da resposta e números resolvidos
Envie por POST um objeto JSON com três números finitos obrigatórios: a, o coeficiente líder diferente de zero; b, o coeficiente linear; e c, o termo constante. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; valores ausentes, strings vazias, NaN e Infinity falham com invalid_input nomeando o campo.
Onde uma API de máximo e mínimo quadrático se paga
Cadernos de física e engenharia reduzem altura de projétil, parábolas de custo e modelos quadráticos de pequeno sinal aos mesmos três coeficientes; chamar um endpoint de parse minúsculo evita puxar um sistema de álgebra computacional por uma só forma fechada. Como a implementação é parse puro de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço-base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de máximo e mínimo quadrático?
A ferramenta do navegador é grátis. Requisições API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.