Maximum et minimum de ax²+bx+c

Une fonction quadratique f de x égale à a fois x au carré plus b fois x plus c se représente comme une parabole. Le coefficient dominant a décide de l'orientation : lorsque a est positif les branches s'ouvrent vers le haut et le point de retournement est un minimum global ; lorsque a est négatif elles s'ouvrent vers le bas et le point de retournement est un maximum global. Ce calculateur de maximum et de minimum quadratique localise ce point de retournement sans calcul différentiel. L'entrée où l'extrémum se produit est toujours x égal à moins b sur deux a, et la valeur extrême est la fonction évaluée là, de façon équivalente c moins b au carré sur quatre a. Envoyez les trois coefficients finis. La réponse nomme le type d'extrémum d'après le signe de a, renvoie l'entrée x et renvoie la valeur extrême elle-même. Il n'y a ni appel réseau, ni tirage, ni date.

Pourquoi le signe de a décide d'un maximum ou d'un minimum

Tout trinôme du second degré non dégénéré est une parabole, et une parabole n'a qu'un seul point de retournement. Compléter le carré réécrit f de x comme a fois parenthèse ouverte x moins h parenthèse fermée au carré plus k, avec h égal à moins b sur deux a et k égal à c moins b au carré sur quatre a. Le facteur au carré n'est jamais négatif, donc sa plus petite valeur possible est zéro, ce qui n'arrive qu'en x égal à h.

Si a est positif, a fois ce carré est au moins zéro et f de x est au moins k : le sommet est un minimum global et la courbe s'ouvre vers le haut. Si a est négatif, a fois ce carré est au plus zéro et f de x est au plus k : le sommet est un maximum global et la courbe s'ouvre vers le bas.

Le calcul différentiel aboutit au même couple : la dérivée première deux a x plus b s'annule en x égal à moins b sur deux a, et la dérivée seconde deux a est positive pour un minimum et négative pour un maximum. Ce point d'accès ne dérive jamais et ne complète jamais le carré comme réécriture intermédiaire ; il évalue les deux formes fermées et classifie le résultat d'après le signe de a.

C'est la recherche que l'on saisit comme calculatrice de maximum et de minimum quadratique : non pas les racines d'une équation, ni un foyer et une directrice géométriques, ni une conversion en forme canonique pour elle-même, mais la valeur extrême et l'entrée où elle se produit. L'axe de symétrie est la même droite verticale x égal à h, donc la réponse est aussi le point haut ou bas que vous liriez sur un croquis.

Lorsque a est exactement zéro l'identité s'effondre et il n'y a pas de sommet unique, ce que cette capacité refuse au lieu de prétendre qu'une expression linéaire ou constante a un extrémum quadratique.

Contrat d'entrée, champs de réponse et nombres résolus

Si a est zéro, ou si proche de zéro qu'il ne peut définir une parabole, la requête est rejetée parce que ax au carré plus bx plus c serait linéaire ou constant et n'aurait pas de maximum ou de minimum quadratique unique.

En cas de succès le corps répète a, b et c après un arrondi stable ; une chaîne d'équation réécrite comme f de x pour l'affichage ; kind comme maximum ou minimum ; x comme l'abscisse du sommet ; value comme la valeur extrême de la fonction ; vertex comme le tableau à deux éléments de ces coordonnées ; opens comme up ou down ; et une chaîne formula qui reformule les formes fermées. Les champs facultatifs qui ne s'appliquent pas sont omis, jamais renvoyés comme null.

Exemple d'un minimum : a égal à un, b égal à moins six, c égal à cinq donne f de x égal à x au carré moins six x plus cinq, opens up, kind minimum, x égal à trois et value égal à moins quatre, car la formule du sommet donne trois et un fois neuf moins six fois trois plus cinq égale moins quatre.

Exemple d'un maximum : a égal à moins deux, b égal à huit, c égal à moins trois donne f de x égal à moins deux x au carré plus huit x moins trois, opens down, kind maximum, x égal à deux et value égal à cinq. Associez la réponse à votre propre traceur si vous avez besoin d'un croquis ; cette capacité n'indique que l'extrémum et n'émet ni graphiques, ni racines, ni prose en plusieurs étapes au-delà du champ formula.

L'arrondi à douze chiffres maintient les goldens stables d'un runtime à l'autre sans inventer de décimales superflues.

À qui sert le calcul du maximum et du minimum

Les cours d'algèbre présentent le sommet comme le premier problème d'optimisation qui ne nécessite pas le calcul différentiel, et les examens d'entrée demandent encore d'indiquer si un trinôme donné a un maximum ou un minimum et de nommer à la fois l'entrée et la valeur. Les plateformes de tutorat et les correcteurs LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui classifie le signe de a et évalue k au lieu d'accepter un sommet qu'un élève a calculé avec le mauvais signe sur b.

Les carnets de physique et d'ingénierie réduisent la hauteur d'un projectile, les paraboles de coût et les modèles quadratiques de petit signal aux mêmes trois coefficients ; appeler un minuscule point d'accès parse évite de tirer un système de calcul formel pour une seule forme fermée. Une validation échouée ne consomme pas le solde.

Gardez les requêtes petites, traitez a égal à zéro comme une erreur dure, et vous obtenez des extréma reproductibles pour les devoirs, les greffons et les workers de bord sans dresser votre propre infrastructure de mathématiques symboliques. Les outils voisins qui résolvent les racines, complètent le carré ou listent les données géométriques du foyer répondent à d'autres questions ; utilisez celui-ci lorsque la question est la valeur extrême et l'endroit où elle se produit.