Máximo y mínimo de ax²+bx+c

Una función cuadrática f de x igual a a por x al cuadrado más b por x más c se representa como una parábola. El coeficiente principal a decide la orientación: cuando a es positivo los brazos se abren hacia arriba y el punto de inflexión es un mínimo global; cuando a es negativo se abren hacia abajo y el punto de inflexión es un máximo global. Esta calculadora de máximo y mínimo cuadrático localiza ese punto de inflexión sin cálculo diferencial. La entrada donde ocurre el extremo es siempre x igual a menos b entre dos a, y el valor extremo es la función evaluada allí, equivalentemente c menos b al cuadrado entre cuatro a. Envíe los tres coeficientes finitos. La respuesta nombra el tipo de extremo según el signo de a, devuelve la entrada x y devuelve el propio valor extremo. No hay llamada de red, ni muestreo, ni fecha.

Por qué el signo de a decide un máximo o un mínimo

Toda cuadrática no degenerada es una parábola, y una parábola tiene exactamente un punto de inflexión. Completar el cuadrado reescribe f de x como a por paréntesis abierto x menos h paréntesis cerrado al cuadrado más k, con h igual a menos b entre dos a y k igual a c menos b al cuadrado entre cuatro a. El factor al cuadrado nunca es negativo, de modo que lo más pequeño que puede ser es cero, y eso ocurre solo en x igual a h.

Si a es positivo, a por ese cuadrado es al menos cero y f de x es al menos k: el vértice es un mínimo global y la gráfica se abre hacia arriba. Si a es negativo, a por ese cuadrado es a lo sumo cero y f de x es a lo sumo k: el vértice es un máximo global y la gráfica se abre hacia abajo.

El cálculo diferencial llega al mismo par: la primera derivada dos a x más b se anula en x igual a menos b entre dos a, y la segunda derivada dos a es positiva para un mínimo y negativa para un máximo. Esa es la búsqueda que la gente escribe como calculadora de máximo y mínimo cuadrático: no las raíces de una ecuación, no un foco y una directriz geométricos, y no una conversión a forma de vértice por sí misma, sino el valor extremo y la entrada donde ocurre.

El eje de simetría es la misma recta vertical x igual a h, de modo que la respuesta es también el punto alto o bajo que usted leería en un bosquejo. Cuando a es exactamente cero la identidad se derrumba y no hay vértice único, lo que esta capacidad rechaza en lugar de fingir que una expresión lineal o constante tiene un extremo cuadrático.

Contrato de entrada, campos de respuesta y números resueltos

Si a es cero, o tan próximo a cero que no puede definir una parábola, la petición se rechaza porque ax al cuadrado más bx más c sería lineal o constante y no tendría un máximo o mínimo cuadrático único.

En caso de éxito el cuerpo repite a, b y c tras un redondeo estable; una cadena de ecuación reescrita como f de x para mostrar; kind como maximum o minimum; x como la abscisa del vértice; value como el valor extremo de la función; vertex como el arreglo de dos elementos de esas coordenadas; opens como up o down; y una cadena formula que reexpresa las formas cerradas. Los campos opcionales que no aplican se omiten, nunca se devuelven como null.

Ejemplo de un mínimo: a igual a uno, b igual a menos seis, c igual a cinco da f de x igual a x al cuadrado menos seis x más cinco, opens up, kind minimum, x igual a tres y value igual a menos cuatro, porque la fórmula del vértice da tres y uno por nueve menos seis por tres más cinco es menos cuatro.

Ejemplo de un máximo: a igual a menos dos, b igual a ocho, c igual a menos tres da f de x igual a menos dos x al cuadrado más ocho x menos tres, opens down, kind maximum, x igual a dos y value igual a cinco. Combine la respuesta con su propio trazador si necesita un bosquejo; esta capacidad informa solo el extremo y no emite gráficas, raíces ni prosa de varios pasos más allá del campo formula.

El redondeo a doce dígitos mantiene estables los goldens entre runtimes sin inventar cifras extra.

Quién usa el cálculo del máximo y el mínimo

Los cursos de álgebra presentan el vértice como el primer problema de optimización que no necesita cálculo diferencial, y los exámenes de ingreso siguen pidiendo que se indique si una cuadrática dada tiene un máximo o un mínimo y que se nombren tanto la entrada como el valor. Los servicios de tutoría y los calificadores LMS necesitan un oráculo determinista que clasifique el signo de a y evalúe k en lugar de aceptar un vértice que un estudiante calculó con el signo equivocado en b.

La validación fallida no consume saldo. Mantenga las peticiones pequeñas, trate a igual a cero como error duro, y obtendrá extremos reproducibles para deberes, complementos y workers de borde sin levantar infraestructura de matemáticas simbólicas propia. Las herramientas relacionadas que resuelven raíces, completan el cuadrado o listan datos geométricos del foco responden a otras preguntas; use esta cuando la pregunta sea el valor extremo y dónde ocurre.