Maximum und Minimum von ax²+bx+c

Eine quadratische Funktion f von x gleich a mal x im Quadrat plus b mal x plus c erscheint als Parabel. Der Leitkoeffizient a entscheidet über die Orientierung: Ist a positiv, öffnen sich die Äste nach oben und der Wendepunkt ist ein globales Minimum; ist a negativ, öffnen sie sich nach unten und der Wendepunkt ist ein globales Maximum. Dieser Rechner für Maximum und Minimum einer Quadratischen findet diesen Wendepunkt ohne Differentialrechnung. Die Eingabe, an der das Extremum liegt, ist stets x gleich minus b durch zwei a, und der Extremwert ist die dort ausgewertete Funktion, gleichwertig c minus b im Quadrat durch vier a. Senden Sie die drei endlichen Koeffizienten. Die Antwort benennt die Art des Extremums anhand des Vorzeichens von a, liefert die Eingabe x und liefert den Extremwert selbst. Es gibt keinen Netzaufruf, keine Zufallsstichprobe und kein Datum.

Warum das Vorzeichen von a über Maximum oder Minimum entscheidet

Jede nichtentartete Quadratische ist eine Parabel, und eine Parabel hat genau einen Wendepunkt. Quadratische Ergänzung schreibt f von x um als a mal offene Klammer x minus h geschlossene Klammer im Quadrat plus k, mit h gleich minus b durch zwei a und k gleich c minus b im Quadrat durch vier a. Der quadrierte Faktor ist niemals negativ, also ist der kleinste mögliche Wert null, und das geschieht nur bei x gleich h.

Ist a positiv, ist a mal dieses Quadrat mindestens null und f von x mindestens k: der Scheitel ist ein globales Minimum und der Graph öffnet sich nach oben. Ist a negativ, ist a mal dieses Quadrat höchstens null und f von x höchstens k: der Scheitel ist ein globales Maximum und der Graph öffnet sich nach unten.

Die Differentialrechnung erreicht dasselbe Paar: die erste Ableitung zwei a x plus b verschwindet bei x gleich minus b durch zwei a, und die zweite Ableitung zwei a ist positiv für ein Minimum und negativ für ein Maximum. Dieser Endpunkt differenziert niemals und ergänzt niemals das Quadrat als Zwischenschritt; er wertet die beiden geschlossenen Formen aus und klassifiziert das Ergebnis anhand des Vorzeichens von a.

Das ist die Suche, die man als Rechner für Maximum und Minimum einer Quadratischen eingibt: nicht die Wurzeln einer Gleichung, nicht geometrischer Brennpunkt und Leitlinie, und nicht eine Umwandlung in die Scheitelpunktform um ihrer selbst willen, sondern der Extremwert und die Eingabe, an der er auftritt. Die Symmetrieachse ist dieselbe senkrechte Gerade x gleich h, also ist die Antwort auch der hohe oder tiefe Punkt, den Sie an einer Skizze ablesen würden.

Ist a genau null, bricht die Identität zusammen und es gibt keinen eindeutigen Scheitel; diese Fähigkeit lehnt das ab, statt vorzutäuschen, ein linearer oder konstanter Ausdruck habe ein quadratisches Extremum.

Eingabevertrag, Antwortfelder und durchgerechnete Zahlen

Ist a null oder so nahe an null, dass keine Parabel definiert ist, wird die Anfrage abgelehnt, weil ax im Quadrat plus bx plus c linear oder konstant wäre und kein eindeutiges quadratisches Maximum oder Minimum hätte.

Bei Erfolg spiegelt der Körper a, b und c nach stabilem Runden; eine als f von x umgeschriebene Gleichungstextkette zur Anzeige; kind als maximum oder minimum; x als die Scheitelabszisse; value als den Extremwert der Funktion; vertex als das zweielementige Feld dieser Koordinaten; opens als up oder down; und eine formula-Zeichenkette, die die geschlossenen Formen wiederholt. Optionale Felder, die nicht zutreffen, werden weggelassen, niemals als null zurückgegeben.

Beispiel eines Minimums: a gleich eins, b gleich minus sechs, c gleich fünf ergibt f von x gleich x im Quadrat minus sechs x plus fünf, opens up, kind minimum, x gleich drei und value gleich minus vier, weil die Scheitelformel drei liefert und eins mal neun minus sechs mal drei plus fünf gleich minus vier ist.

Beispiel eines Maximums: a gleich minus zwei, b gleich acht, c gleich minus drei ergibt f von x gleich minus zwei x im Quadrat plus acht x minus drei, opens down, kind maximum, x gleich zwei und value gleich fünf. Kombinieren Sie die Antwort mit Ihrem eigenen Plotter, wenn Sie eine Skizze brauchen; diese Fähigkeit berichtet nur das Extremum und gibt weder Graphen noch Wurzeln noch mehrstufige Prosa jenseits des Feldes formula aus. Zwölfstellige Rundung hält Goldens über Laufzeiten hinweg stabil, ohne Extra-Ziffern zu erfinden.

Wer Maximum und Minimum so prüft

Algebrakurse führen den Scheitel als erstes Optimierungsproblem ein, das keine Differentialrechnung braucht, und Aufnahmeprüfungen verlangen weiterhin anzugeben, ob eine gegebene Quadratische ein Maximum oder ein Minimum hat, und sowohl die Eingabe als auch den Wert zu nennen. Nachhilfeplattformen und LMS-Korrektoren brauchen ein deterministisches Orakel, das das Vorzeichen von a klassifiziert und k auswertet, statt einen Scheitel zu akzeptieren, den ein Lernender mit dem falschen Vorzeichen bei b berechnet hat.

Physik- und Ingenieurhefte reduzieren Wurfhöhe, Kostenparabeln und kleinsignalige quadratische Modelle auf dieselben drei Koeffizienten; ein winziger Parse-Endpunkt vermeidet, ein Computeralgebrasystem für eine einzige geschlossene Form heranzuziehen. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, behandeln Sie a gleich null als harten Fehler, und Sie erhalten reproduzierbare Extrema für Hausaufgaben, Erweiterungen und Edge-Worker, ohne eigene symbolische Mathematikinfrastruktur aufzubauen.

Verwandte Werkzeuge, die Wurzeln lösen, quadratisch ergänzen oder geometrische Brennpunktdaten listen, beantworten andere Fragen; nutzen Sie dieses, wenn die Frage der Extremwert und der Ort seines Auftretens ist.