ForHosting KIT · Mathématiques

Carré d'un binôme

Développez le carré d'un binôme en une étape : (2x + 3)² devient 4x² + 12x + 9, avec les coefficients dominant, central et constant a², 2ab et b². Gratuit dans votre navigateur.

Gratuit
Fonctionne dans votre navigateur
Sans inscription
Vos données restent sur votre appareil

Lancer gratuitement Voir l’API

Utilisez-le depuis WebAPIE-mailTelegramApp bientôt

Exemple résolu

Si vous saisissez

A: 2
B: 3

Vous obtenez

Terme dominant: 4
Terme linéaire: 12
Constante: 9
Binôme: (2x + 3)^2

Le carré d'un binôme est le premier produit remarquable que tout élève d'algèbre mémorise : le carré d'une somme est le carré du premier plus le double du produit plus le carré du second. Écrite sur un binôme linéaire, cette identité affirme que (ax plus b) au carré égale a au carré fois x au carré plus deux a b fois x plus b au carré, et les trois nombres de droite sont les coefficients quadratiques d'un trinôme carré parfait. Les élèves recherchent ce développement sous le nom de classe carré d'un binôme plutôt que sous le théorème du binôme général, et ont besoin de ces trois coefficients immédiatement pour les devoirs, les corrigés de fiches et les correcteurs automatiques. Cette capacité accepte les deux coefficients finis a et b, applique l'identité sans moteur symbolique et renvoie les coefficients dominant, linéaire et constant ainsi que des chaînes d'affichage compactes.

Ce qu'est le carré d'un binôme et comment l'identité se développe

En algèbre scolaire, le carré d'un binôme est un produit remarquable nommé, non une puissance quelconque. Les deux familles de manuel sont (x plus y) au carré égale x au carré plus deux x y plus y au carré, et (x moins y) au carré égale x au carré moins deux x y plus y au carré.

En admettant un coefficient dominant différent de l'unité, la même idée est (a x plus b) au carré égale a au carré x au carré plus deux a b x plus b au carré. Faire correspondre ces trois termes à une quadratique générique A x au carré plus B x plus C fixe trois coefficients : le terme dominant est a au carré, le linéaire est le double de a fois b, et le constant est b au carré. Ces trois multiplications constituent tout l'algorithme.

Vérifications classiques : a égale un et b égale trois donne x au carré plus six x plus neuf ; a égale deux et b égale trois donne quatre x au carré plus douze x plus neuf ; et a égale trois et b égale moins deux donne neuf x au carré moins douze x plus quatre.

Un second coefficient négatif est la façon de demander la famille moins ; il n'y a pas de drapeau de signe séparé, car (a x moins b) est déjà (a x plus b négatif). Zéro est licite des deux côtés : si b est zéro, le développement est a au carré x au carré, et si a est zéro, le développement est la constante b au carré.

L'identité est exacte sur les entiers habituels de manuel et n'est arrondie à douze décimales que pour que des valeurs flottantes voisines se comparent octet par octet entre environnements d'exécution. Ce n'est pas le théorème du binôme pour un exposant n libre, ni un test qui demande si un trinôme donné est déjà un carré ; c'est le développement à sens unique de deux coefficients du binôme vers trois coefficients quadratiques.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

En cas de succès, le corps répète les coefficients nettoyés a et b ; renvoie leading égal à a au carré, linear égal à deux a b et constant égal à b au carré ; et ajoute une chaîne binomial telle que (2x + 3) circonflexe deux plus une chaîne expanded telle que 4x circonflexe deux plus 12x plus 9. Une chaîne formula reformule l'identité pour qu'un client imprime la règle à côté des nombres.

Exemple : a égale deux, b égale trois donne leading quatre, linear douze, constant neuf, binomial (2x + 3)^2 et expanded 4x^2 + 12x + 9. Exemple de la famille moins : a égale un, b égale moins cinq donne leading un, linear moins dix, constant vingt-cinq, binomial (x - 5)^2 et expanded x^2 - 10x + 25.

Associez la réponse à votre propre code de graphique si vous avez besoin de l'esquisse de la parabole qui touche à peine l'axe ; ce point de terminaison ne développe que le carré et renvoie les trois coefficients quadratiques. Gardez les requêtes petites, figez leading, linear et constant dans les tests, et vous obtenez un trinôme reproductible pour les devoirs, les extensions LMS et les workers en bordure sans dresser un système de calcul formel.

Où un développeur du carré d'un binôme se justifie

Les salles de classe et les plateformes de tutorat utilisent une calculatrice du carré d'un binôme pour que les élèves confirment l'identité du terme du milieu sans la confondre avec un développement binomial général de (a plus b) à la n, et sans lancer le test inverse qui demande si un trinôme déjà terminé se trouve être un carré.

Les générateurs d'épreuves ont besoin d'un oracle déterministe qui développe (2x plus 3) au carré en quatre, douze, neuf et qui rejette un coefficient non fini au lieu de renvoyer NaN qu'un correcteur défectueux pourrait traiter comme un succès. Les extensions de fiches et LMS qui demandent aux élèves d'écrire les trois coefficients quadratiques peuvent appeler d'abord ce point de terminaison, masquer les nombres, puis comparer le trinôme soumis à leading, linear et constant.

Les carnets d'ingénierie qui construisent un polynôme caractéristique à racine double ou un résidu carré parfait ont parfois besoin du même développement à deux coefficients sans tirer un système de calcul formel. Une validation échouée ne consomme pas de solde. Gardez les deux coefficients finis, figez les trois coefficients quadratiques dans les tests des identités de manuel qui vous importent, et vous obtenez un développement reproductible pour les devoirs, les extensions LMS et les scripts d'automatisation.

Cas d’usage

Vérifications en classe et devoirs

Laissez les élèves envoyer a et b de (ax+b)² et vérifier les coefficients leading, linear et constant renvoyés contre l'identité de produit remarquable qu'ils ont écrite à la main.

Notation automatique d'épreuves et LMS

Notez les items de carré d'un binôme avec un oracle déterministe qui développe en a², 2ab et b² et rejette un coefficient non fini au lieu d'inventer un trinôme.

Générateurs de fiches et carnets

Construisez des exercices autour de (ax+b)² ou assemblez une quadratique à racine double à partir de deux coefficients du binôme sans importer une bibliothèque complète de calcul formel.

Questions fréquentes

Quelle identité le carré d'un binôme utilise-t-il ?

L'identité du trinôme carré parfait (ax+b)² = a²x² + 2abx + b². Un b négatif est la façon de demander (ax−b)² ; il n'y a pas de champ de signe séparé.

Que se passe-t-il si un coefficient manque ou n'est pas un nombre fini ?

NaN, Infinity positif ou négatif, chaînes vides et valeurs non numériques sont rejetés et ne sont pas facturés.

En quoi cela diffère-t-il du développement binomial ou d'un vérificateur de trinôme carré parfait ?

Un développeur binomial général traite (a+b)^n pour tout n. Un vérificateur de trinôme carré parfait part de ax²+bx+c et demande s'il se factorise en un carré. Cet outil ne développe que (ax+b)² à partir des deux coefficients du binôme.

Comment développer un binôme avec un signe moins, comme (3x − 2)² ?

Saisissez le second coefficient sous forme de nombre négatif. Avec 3 et −2, vous obtenez 9x² − 12x + 4 : le terme central devient négatif et les deux carrés restent positifs, aucune option de signe n'est donc nécessaire.

Que se passe-t-il si l'un des coefficients est nul ?

Le zéro est accepté des deux côtés. Avec un terme constant nul, le résultat est simplement a²x² ; avec un coefficient de x nul, tout se réduit à la constante b².

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":2,"b":3}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 2,
    "b": 3
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 2,
    "b": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":2,"b":3}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/square-of-a-binomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "a": 2,
  "b": 3
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.square_of_a_binomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Tout coefficient qui n'est pas un nombre fini est rejeté avec invalid_input.

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

Envoyez par POST un corps JSON avec deux nombres finis obligatoires : a, le coefficient de x dans le binôme a x plus b, et b, le terme constant de ce binôme. Chaque champ peut arriver comme nombre JSON, chaîne numérique ou fraction simple telle que trois barre quatre ; les alias A ou first ou p, et B ou second ou q, sont acceptés afin que les scripts réutilisent des charges déjà existantes, y compris les p et q que renvoie le vérificateur inverse de trinôme carré parfait. Champs manquants, chaînes vides, NaN et Infinity positif ou négatif échouent avec invalid_input en nommant le champ. Ces échecs ne sont pas facturés.

Où un développeur du carré d'un binôme se justifie

Parce que l'implémentation est du parse pur de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle et sans réseau sortant.

Questions techniques

Comment développer le carré d'un binôme (ax + b)² ?

Envoyez des nombres finis a et b. L'API renvoie leading = a², linear = 2ab et constant = b², plus des chaînes d'affichage pour (ax+b)² et le trinôme développé.

Que coûte la calculatrice du carré d'un binôme ?

L'outil du navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.

Consulter la documentation complète du KIT →

Lancer gratuitement

Exemple résolu

Ce qu'est le carré d'un binôme et comment l'identité se développe

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

Où un développeur du carré d'un binôme se justifie

Cas d’usage

Vérifications en classe et devoirs

Notation automatique d'épreuves et LMS

Générateurs de fiches et carnets

Questions fréquentes

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Endpoint

Appeler depuis votre stack

Exemple de requête

Exemple de réponse

Tarifs

Erreurs

Notes techniques

Contrat d'entrée, forme de la réponse et erreurs

Où un développeur du carré d'un binôme se justifie

Questions techniques

merci