Inéquations à valeur absolue
|2x − 4| < 10 est vraie pour tout x strictement compris entre −3 et 7. Indiquez a, b, c et le signe de comparaison pour obtenir l'intervalle, ou les deux demi-droites extérieures avec supérieur à, bornes ouvertes ou fermées indiquées. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 2
- B
- -4
- C
- 10
- Op
- <
- Inégalité
- |2x + -4| < 10
- Type de solution
- interval
Vous envoyez les trois coefficients a, b et c ainsi que l'opérateur de comparaison, et vous recevez des bornes ordonnées et arrondies, prêtes à être tracées sur une droite numérique ou à alimenter l'étape suivante de votre pipeline. Elle remplace l'algèbre manuelle, sujette aux erreurs, qui consiste à découper |ax+b| en deux cas, surtout lorsque a est négatif et que les extrémités de l'intervalle doivent être échangées.
Comment se résout une inéquation à valeur absolue
Une inéquation comme |ax + b| < c affirme que la quantité ax + b reste à une distance inférieure à c de zéro ; elle équivaut donc à l'inéquation composée -c < ax + b < c. Soustraire b puis diviser par a isole x, mais un piège casse la plupart des résolutions manuelles : lorsque a est négatif, la division inverse les deux signes de comparaison et les deux bornes brutes se retrouvent dans le mauvais ordre.
Le solveur calcule les deux bornes, (-c - b)/a et (c - b)/a, puis les ordonne explicitement, de sorte que le signe de a ne contamine jamais la réponse. Pour < et <=, la solution est l'unique intervalle entre ces bornes, avec des extrémités ouvertes ou fermées selon l'opérateur. Pour > et >=, la solution est le complémentaire : tout x sous la borne inférieure ou au-dessus de la borne supérieure, renvoyé sous forme de deux demi-droites.
Chaque borne est arrondie à dix décimales afin que les résultats soient stables octet par octet d'une machine à l'autre et sûrs pour les tests d'instantanés.
Validation de l'entrée et quand vous recevez une erreur
La première est a égal à zéro : sans x dans la valeur absolue, le problème n'est plus une inéquation en x, et renvoyer un intervalle serait un mensonge ; soit tout x soit aucun x ne la satisfait selon b et c, ce qui est une autre question. La seconde est un c négatif : une valeur absolue n'est jamais négative, donc la comparer à un membre de droite négatif est traité comme un problème mal formé plutôt que répondu en silence.
De plus, chaque coefficient doit être un nombre fini ; NaN, les infinis et les chaînes de caractères sont rejetés champ par champ avec un message qui nomme le coupable. Les requêtes qui échouent à la validation ne sont pas facturées.
Cas d’usage
Vérification de devoirs et de manuels
Vérifiez un exercice |ax+b| < c résolu à la main, y compris le cas difficile où a est négatif et où les extrémités de l'intervalle doivent être échangées.
Calcul de bandes de tolérance
Transformez une tolérance de mesure comme |3x - 12| <= 6 en bornes inférieure et supérieure exactes pour une règle de validation ou une carte de contrôle.
Tracé de la droite numérique dans une app
Consommez directement les intervalles structurés pour dessiner l'ensemble solution, avec les extrémités ouvertes et fermées déjà décidées pour vous.
Questions fréquentes
Combien cela coûte-t-il ?
Le même solveur s'exécute aussi gratuitement dans votre navigateur sur cette page, donc les vérifications manuelles ne coûtent rien.
Quels opérateurs sont pris en charge ?
Les quatre comparaisons : <, <=, > et >=, passées dans le champ op. En cas d'omission, la valeur par défaut est <.
Que se passe-t-il lorsque c est négatif ?
La requête est rejetée comme entrée invalide. Une valeur absolue n'est jamais négative, donc le problème n'a pas de formulation d'intervalle sensée et est traité comme mal formé au lieu d'être répondu en silence.
Comment les extrémités ouvertes et fermées sont-elles affichées ?
Les opérateurs stricts produisent des extrémités ouvertes, les opérateurs non stricts des extrémités fermées, et les extrémités non bornées des demi-droites sont omises de l'objet.
Les résultats sont-ils exacts ?
Oui, dans les limites de l'arithmétique en virgule flottante. Les bornes sont calculées analytiquement — sans approximation itérative — et arrondies à dix décimales, de sorte que des entrées identiques renvoient toujours des sorties identiques.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":2,"b":-4,"c":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 2,
"b": -4,
"c": 10
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 2,
"b": -4,
"c": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":2,"b":-4,"c":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":2,"b":-4,"c":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/absolute-value-inequalities", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 2,
"b": -4,
"c": 10
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.absolute_value_inequalities",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
L'API d'inéquations à valeur absolue prend une inéquation de la forme |ax+b| < c — avec <, <=, > ou >= — et renvoie son ensemble solution exact sur les nombres réels : un intervalle, une réunion de deux demi-droites, un point unique ou l'ensemble vide.
Les quatre opérateurs et leurs formes de solution
Deux formes dégénérées méritent d'être connues. Chaque opérateur de comparaison produit une forme caractéristique, et la réponse la nomme dans le champ solution_type pour que votre code n'ait pas à la deviner à partir des nombres. Un inférieur-à, strict ou non, donne solution_type interval : un seul segment borné de la droite, extrémités ouvertes pour < et fermées pour <=. Les opérateurs supérieur-à donnent solution_type union : deux demi-droites vers l'extérieur, par exemple x < -1 ou x > 5. Lorsque c vaut zéro, <= s'effondre sur le point unique x = -b/a, signalé comme solution_type point, tandis que < s'effondre sur rien, signalé comme solution_type empty avec une liste d'intervalles vide. Lorsque c vaut zéro avec un opérateur supérieur-à, tout nombre réel sauf -b/a est solution, signalé comme solution_type all_except_point avec la valeur exclue dans excluded_point. Les extrémités non bornées des demi-droites sont simplement omises des objets intervalle au lieu de valoir null, ce qui garde le JSON propre à consommer.
Validation de l'entrée et quand vous recevez une erreur
Deux entrées sont rejetées avec une erreur typée invalid_input plutôt qu'une réponse trompeuse. Pendant le prototypage, vous pouvez exécuter exactement le même code gratuitement dans le navigateur de cette page, et seuls les appels automatisés à l'API coûtent $0.002 par requête.
Questions techniques
Pourquoi a = 0 est-il rejeté ?
Parce qu'avec a = 0, l'inconnue x disparaît de l'inéquation. Le problème devient alors une comparaison constante sans intervalle à renvoyer ; il est donc signalé comme entrée invalide au lieu de produire une réponse trompeuse.