Resolvedor de desigualdad compuesta

Una desigualdad compuesta une dos enunciados sobre la misma incógnita con and o con or. El caso and es la intersección de los dos conjuntos solución: todo x aceptado debe satisfacer ambas comparaciones lineales a la vez. El caso or es la unión: x puede satisfacer cualquiera de las dos, incluidas ambas cuando se solapan. Los estudiantes encuentran ambas formas en álgebra uno cuando escriben pares como dos x más tres menor que siete y x menos uno mayor que cero, o cuando escriben una separación como x menor que dos o x mayor que cinco. Este resolvedor de desigualdades compuestas aísla x en cada pieza lineal ax más b comparado con c, invierte la comparación siempre que un coeficiente es negativo y, a continuación, intersecta o une las semirrectas resultantes y devuelve la respuesta combinada en notación de intervalo. Las intersecciones vacías pasan a ser el símbolo del conjunto vacío; las semirrectas or que se solapan o se tocan y cubren todos los reales se convierten en la recta entera; las semirrectas or disjuntas permanecen como una unión de dos piezas.

Qué es una desigualdad compuesta y cómo and frente a or cambia el conjunto

Una desigualdad compuesta no es una sola comparación ni una reescritura de notación de una x ya aislada. Son dos enunciados lineales sobre la misma variable, unidos por un conector lógico que decide si ambos deben cumplirse o si basta con uno.

En el lenguaje del aula, and significa el solapamiento de los dos conjuntos solución: si la primera pieza dice que x es mayor que menos dos y la segunda dice que x es a lo sumo cuatro, la respuesta combinada es la ventana abierta-cerrada de menos dos a cuatro.

Or significa la cobertura de cualquiera de los dos conjuntos: si la primera pieza dice que x es menor que dos y la segunda dice que x es mayor que cinco, la respuesta combinada es la unión disjunta de una semirrecta izquierda y una semirrecta derecha. Esas dos imágenes no se parecen en nada sobre una recta numérica, y por eso existe un resolvedor dedicado de desigualdades compuestas en lugar de pedir al estudiante que ejecute dos veces un resolvedor lineal simple y combine las semirrectas a mano.

Cada pieza aquí tiene la forma lineal genuina a x más b comparado con c, de modo que una pendiente negativa sigue invirtiendo la desigualdad al dividir ambos lados: la misma regla de inversión que se enseña en álgebra uno. Tras el aislamiento, cada pieza es una semirrecta. Intersectar dos semirrectas puede dar un intervalo acotado, una semirrecta más estrecha, un singleton cuando ambos extremos se cierran sobre el mismo número, o el conjunto vacío cuando las semirrectas no se encuentran.

Unir dos semirrectas puede dar una semirrecta más ancha, la recta real completa cuando se solapan o se tocan a través de un extremo incluido, o una unión de dos piezas cuando queda un hueco. La notación de intervalo empaqueta ese conjunto: los paréntesis excluyen un extremo, los corchetes lo incluyen, los marcadores de infinito nunca llevan corchete, el conjunto vacío es el símbolo del vacío, y un par disjunto se escribe con un signo de unión.

Ese es el contrato que responde esta página: resolver, combinar e imprimir el intervalo, no limitarse a decorar una cota que quien llama ya había aislado.

Contrato de entrada, la regla de inversión y cómo se combinan las dos semirrectas

La primera pieza usa a1, b1, c1 y op1 para a1 x más b1 comparado con c1; la segunda usa a2, b2, c2 y op2. Cada coeficiente debe ser un número finito, y a1 y a2 deben ser distintos de cero porque una pendiente nula haría que esa pieza no dependiera de x y dejaría de ser una desigualdad lineal en la incógnita.

Los operadores pueden escribirse como los símbolos menor que, menor o igual, mayor que o mayor o igual, o como los códigos cortos lt, le, gt y ge, incluidos los glifos unicode de menor-o-igual y mayor-o-igual. Una precisión opcional de cero a quince decimales redondea coeficientes y cotas antes del álgebra de conjuntos para que los goldens se mantengan estables entre runtimes; el valor por defecto de diez coincide con el de otros ayudantes de álgebra de tier A.

Tras restar la constante, ambos lados de cada pieza se dividen entre la pendiente. Una pendiente positiva conserva el operador original. Una pendiente negativa lo invierte, y la respuesta fija flipped1 o flipped2 para que una capa didáctica pueda resaltar ese paso.

El motor intersecta entonces las dos semirrectas cuando join es and, o las une cuando join es or. Los extremos finitos de un resultado conexo único se incluyen como lower y upper con indicadores de inclusión; esas claves se omiten —no se ponen a null— cuando el resultado es vacío, la recta entera o una unión de dos piezas.

Dónde encaja un resolvedor de desigualdades compuestas en el estudio, la enseñanza y el código

Los estudiantes encuentran las desigualdades compuestas cuando un problema verbal exige un rango que cumple dos restricciones a la vez, como un presupuesto que debe quedar por debajo de un límite y por encima de otro, y cuando una condición partida dice que una lectura es o demasiado baja o demasiado alta. Los docentes pueden generar claves de respuestas que muestran las semirrectas aisladas, la inversión ante un coeficiente negativo y el intervalo final, sin fiarse de calculadoras opacas que olvidan el conector o imprimen notación científica.

La práctica de concursos a menudo necesita una comprobación rápida sin conexión de que una intersección vacía lo es de verdad y de que un or de semirrectas solapadas es la recta entera, y no una unión desaliñada de dos intervalos que en realidad lo cubren todo.

Esta página responde a una intención de búsqueda distinta de la de un resolvedor de una sola desigualdad lineal, que aísla una comparación y se detiene, y de la de un convertidor a notación de intervalo, que parte de una x ya aislada comparada con una cota o de una cadena ya escrita como lower relacionado con x relacionado con upper. Aquí el trabajo es el paso de resolver y luego combinar que esas herramientas dejan al humano. En esta página el cálculo se ejecuta por completo en su navegador.