二次方程式を因数分解で解く
教科書と同じ手順で二次式を因数分解します。x² − 5x + 6は(x − 2)(x − 3)となり、解は2と3です。整数で因数分解できない場合は、そのことをはっきり示します。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- 方程式
- x^2 - 5*x + 6 = 0
- 多項式
- x^2 - 5*x + 6
- 判別式
- 1
- 内容
- 1
因数分解による二次方程式の解法とは、a かける x の二乗 たす b かける x たす c を整数係数の一次二項の積に書き直し、その積を零とおき、零積の性質により各二項から根を得ることを意味します。この計算機は方程式 a x の二乗 たす b x たす c が零に等しい、に対する三つの整数係数 a・b・c を受け取り、問題が真に二次であるよう先頭係数が零の場合は拒否し、括弧 x ひく 二 括弧 括弧 x ひく 三 括弧のような明示的な因数分解形と順序付きの根を返すか、三項式が整数上で因数分解できないことを正直に報告します。教室での古典的な確認例には、x の二乗 ひく 五 x たす 六 が 括弧 x ひく 二 括弧 括弧 x ひく 三 括弧 となり根が二と三になる例、六 x の二乗 たす 五 x たす 一 が 括弧 二 x たす 一 括弧 括弧 三 x たす 一 括弧 となり根がマイナス二分の一とマイナス三分の一になる例、および複素根が存在しても整数上では因数分解できない x の二乗 たす 一 が含まれます。
因数分解による解法と零積の性質の仕組み
二次方程式 a x の二乗 たす b x たす c が零 は、左辺が定数の content と整数係数の二つの一次二項の積に分解できるとき、因数分解で解けます。代数的には、整数 a・b・c に対して判別式が完全平方であることと同じ条件であり、有理根が保証され、分母を払ったのち逆 FOIL または AC 法により整数二項因子が得られます。
計算機はまず a・b・c が安全な整数範囲内の有限整数であり a が零でないことを確認します。次に三係数の最大公約数に等しい content 因子を符号を保って取り出し、先頭因子が可能な限り正の第一二項係数を好むようにし、約数対を探索します。
すなわち縮小した先頭係数を p かける r、縮小した定数項を q かける s と分け、交差恒等式 p s たす q r が縮小した一次係数に等しくなる組を探します。そのような整数が存在するとき、方程式は content かける 括弧 p x たす q 括弧 かける 括弧 r x たす s 括弧 が零 となります。
content は非零なので、零積の性質より p x たす q が零、または r x たす s が零となり、根 x は マイナス q わる p および マイナス s わる r です。
どの約数対も成立しない場合、応答は factorable を偽とし、整数因数分解に失敗したと説明し、因数分解法が生み出さない無理因子や複素因子を捏造するのではなく、解の公式や平方完成へ誘導します。特殊ケースも明確に扱います。c が零なら x が明示的な因子となり、二根が一致すれば解リストは重根として一つの値だけを含みます。
入力契約・応答形・因数分解が失敗する場合
a が零のとき、方程式は二次ではなく一次になるためハンドラは要求を拒否します。整数上の因数分解が失敗した成功応答でも、equation・polynomial・判別式を factorable 偽と、判別式が完全平方でないか整数約数対が成立しない旨の note 付きで返し、因数分解法が正当化できない根は作りません。この非因数分解の成功経路は意図的です。
教室の因数分解が適用できないと報告すること自体が妥当な答えであり、検証エラーではありません。
古典例: a が 一、b が マイナス五、c が 六 なら 括弧 x ひく 二 括弧 括弧 x ひく 三 括弧 と根 二・三; a が 二、b が 三、c が 一 なら 括弧 x たす 一 括弧 括弧 二 x たす 一 括弧 と根 マイナス一・マイナス二分の一; a が 一、b が 零、c が 一 は整数上で因数分解できません。
宿題や素早い確認には無料ブラウザフォームを、一括の模範解答には同一契約をスクリプトから呼び出してください。
因数分解で解く計算機が役立つ場面
中等・大学の代数では解の公式の前に、因数分解による解法・逆 FOIL・AC 法の演習が課されます。二項の積と零積からの根の両方を返す信頼できるオラクルは、ルーブリックが求める方法を飛ばさず採点とデモを速めます。
試験生成には、因数分解可能な整数三項式と方法を切り替えるべきケースを区別する決定論的ツールが必要で、自動採点は factorable が真のときだけ因数分解解答を受け入れ、それ以外を公式作業として扱えます。
プログラミング競技のウォームアップや面接問題では整数制約の中に因数分解可能な二次が隠れることが多く、技術者は丸めの悪い浮動小数の公式出力ではなく整数二項形と厳密な有理根を必要とします。対話型教材の著者は、モニックおよび非モニック先頭係数、判別式が零の重根、x の二乗 たす 一 型の正直な非因数分解フラグについて同じ形を求めます。
のちに制限のない複素根、解かずに有理数上で記号的に因数分解する機能、頂点データ付きの完全な解の公式が必要なら、この因数分解解法ページに詰め込むのではなく別の検索意図とランディングとして扱ってください。
活用例
AC 法・逆 FOIL のドリル
教室の因数分解による解法手順を、整数 content の約数対因数分解（非モニック先頭係数や重根を含む）と照合します。
LMS での解法選択の自動採点
factorable が真のときだけ因数分解に基づく生徒解答を受理し、非因数分解項目は根を捏造せず解の公式採点へ回します。
よくある質問
整数上で因数分解できない二次の場合は？
応答は成功のまま factorable を偽とし、整数因数分解に失敗した旨の note を付けます。エラーではありません。 その根には解の公式や平方完成を使ってください。
なぜ a・b・c は整数でなければならないのですか？
整数上の因数分解による解法が、このページが対象とする教室の方法です。
x² − 5x + 6 = 0を因数分解で解くには？
掛けて6、足して−5になる2つの数を探すと−2と−3です。よってx² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)となり、各因数を0とおくと解は2と3です。
aが1でなくても因数分解できますか？
できます。6x² + 5x + 1は(2x + 1)(3x + 1)となり、解は−1/2と−1/3です。3つの係数に共通する因数があれば先にくくり出します。
因数分解できるかどうかを先に見分けるには？
判別式b² − 4acを計算します。係数が整数なら、判別式が平方数のときに限り整数で因数分解できます。x² − 5x + 6では判別式は1です。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/quadratic-by-factoring", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.quadratic_by_factoring",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
無料のブラウザツールと有料 API は同一の純粋決定論的関数を共有するため、宿題デモ・模範解答・自動化パイプラインが同じ係数で食い違うことはありません。
因数分解による解法と零積の性質の仕組み
経路全体は乱数シード・時計・ネットワーク呼び出しのない決定論的処理であり、同一係数は常に同一の JSON を生成します。
入力契約・応答形・因数分解が失敗する場合
a x の二乗 たす b x たす c が零 の係数を表す必須整数フィールド a・b・c の三つを持つ JSON 本体を送信してください。各フィールドは JSON 数、または整数へきれいに丸まる数値文字列でよく、非有限値・欠落・空文字列・非整数はフィールド名付きの invalid_input で失敗し課金されません。因数分解が成功した成功応答では、a・b・c、印刷可能な equation と polynomial、判別式、factorable 真、content、それぞれ coeff_x・const・二項文字列を持つ二要素の factors 配列、表示用の factored_form と equation_factored、solution_count、十二桁有効数字の安定丸めで昇順の roots、短い zero_product の注意、note が返ります。成功した API 呼び出しの料金は公開ベースの $0.002 毎件で、検証失敗は前払い残高を消費しません。
因数分解で解く計算機が役立つ場面
本能力は純粋な parse エンジンのため、API 料金は成功一件あたり公開ベースの $0.002 で、検証失敗は残高を消費しません。
連携の活用例
宿題・試験の模範解答
教科書の ax²+bx+c=0 集合に対し厳密な二項因子と零積の根を生成するか、整数因数分解が適用できないときは正直な非因数分解フラグを返します。
技術的な質問
この計算機で因数分解により二次方程式を解くには？
ax²+bx+c=0 に対し整数係数 a（非零）・b・c を送ってください。三項式が整数上で因数分解できるとき、API は因数分解形と零積の性質による両根を返します。
因子から根はどのように得られますか？
content·(p x + q)(r x + s) = 0 かつ content ≠ 0 なら、p x + q = 0 または r x + s = 0 なので x = −q/p と x = −s/r です。根は昇順で返されます。
因数分解で解く計算機の料金は？
ブラウザツールは無料です。API 要求は成功呼び出しあたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、無効入力は課金されません。