二次式の因数分解計算機
a、b、c を入力すると、2次式を2つの1次式の積に因数分解します。x² − 5x + 6 は (x − 2)(x − 3) になります。有理数の因数がない場合は、そのことをはっきり示します。ブラウザで無料で使えます。
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- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- A
- 1
- B
- -5
- C
- 6
- 多項式
- x^2 - 5*x + 6
- 判別式
- 1
- 内容
- 1
- 因数分解形
- (x - 2)(x - 3)
二次多項式の因数分解とは、a かける x の二乗 たす b かける x たす c を、有理係数で積が存在するとき二つの一次二項の積として書き直すことです。この計算機は有限な三つの数 a、b、c を受け取り、先頭係数が零の入力を拒んで真に二次のまま保ち、内容 かける 開き括弧 p x たす q 閉じ括弧 かける 開き括弧 r x たす s 閉じ括弧 のような明示的な分解を返すか、有理数上で既約であると報告します。有理数上の既約性は厳密に判定されます。分母を払った後の整数モデルの判別式が完全平方でなければならず、それは有理根と有理二項因子の存在と同値です。教室の定番確認として、x の二乗 ひく 五 x たす 六 が 開き括弧 x ひく 二 閉じ括弧 開き括弧 x ひく 三 閉じ括弧 になり、六 x の二乗 たす 五 x たす 一 が 開き括弧 二 x たす 一 閉じ括弧 開き括弧 三 x たす 一 閉じ括弧 になり、x の二乗 たす 一 は複素数上では分解できても Q 上では既約のまま残ります。
ax² + bx + c の有理因数分解の仕組み
有理係数の二次多項式が有理数上で非自明に因数分解できるのは、有理根を持つとき、かつそのときに限られます。二次では判別式が有理数の平方であることと同値です。
実際には計算機はまず連分数近似により通常の有限入力から a、b、c の厳密分数を復元し、教科書の小数や整数を厳密に保ったうえで、分母の最小公倍数を掛けて整数モデル A x の二乗 たす B x たす C を得ます。その整数二次の分解は約数対の探索で行います。
先頭係数 A を p かける r、定数項 C を q かける s に分け、交差恒等式 p s たす q r が B に等しくなるようにします。そのような整数が存在するとき、元の多項式は有理の内容スケール かける 二つの二項 p x たす q と r x たす s の積として復元されます。
対が存在しないとき、整数モデルの判別式は完全平方ではなく、応答は二次式を有理数上既約と印します。これは実数上の分解より厳しい基準です。x の二乗 ひく 二 は平方根で分解できても因子が有理でないため、ここでは既約です。
x の二乗 たす 一 が 開き括弧 x ひく i 閉じ括弧 開き括弧 x たす i 閉じ括弧 になるような複素分解も対象外です。re や im 形の根が必要な場合は二次公式ソルバーを使ってください。係数は有限でなければならず、Infinity と NaN は拒否されます。
次数が下がり問題が二次でなくなるためです。
実務で二次の因数分解が現れる場面
中等・大学の代数ではグループ分け、AC 法、逆 FOIL のドリルが絶えず出題されます。二項因子か正直な既約フラグを返す信頼できるオラクルは、採点やデモ準備を速め、ルーブリックが許さない無理数・複素因子を捏造しません。
プログラミング競技のウォームアップや面接画面は、しばしば整数ディオファントス制約の中に因数分解可能な二次を隠し、技術者は丸めの悪い浮動小数の根ではなく整数二項形を必要とします。計算機や CAS フロントエンドの記号前処理は、高次の重い算法を呼ぶ前の安価な第一段として有理因数分解を使います。
物理や金融のノートでは、部分分数や符号表の前に二次の費用や制約を線形因子へ書き直すことがあり、a が零を拒否することで線形モデルを二次と誤ラベルすることを防ぎます。のちに閉形式の複素根、三次の分解、有限体上の分解が必要なら、この有理二項分解ページに押し込めず、別の検索意図とランディングとして扱ってください。
活用例
宿題・試験の解答キー
教科書の ax²+bx+c 集合に対し、厳密な二項因子または Q 上既約フラグを生成し、教員と自動採点が一つの基準真理を共有します。
AC 法と逆 FOIL のドリル
教室の分解手順を、整数内容を含む約数対分解と照合します。重複因子や非モノニック先頭係数も含みます。
部分分数の前処理
符号表・部分分数・整数制約の解の前に、可能なとき有理二次式を Q 上の一次因子へ書き直します。
よくある質問
有理数上で二次式が因数分解できるのはいつですか？
判別式が有理数の平方であるとき（同値：有理根を持つとき）です。そのとき二つの有理または整数係数二項と任意の内容スケールを返します。
a が零のときはどうなりますか？
二次の因数分解には非零の二次係数が必要で、線形二項 bx + c は別問題です。
ここでの x² − 2 は因数分解できますか？
できません。 実数上では √2 で分解できますが有理数上ではできないため、応答は irreducible を真にします。標準的な代数カリキュラムと一致します。
二次公式ソルバーと何が違いますか？
公式ソルバーは根（複素の場合あり）を返します。この計算機は Q 上の二項因子を返すか、Q 上既約と報告します。検索意図もランディングも異なります。
6x² + 5x + 1 はどう因数分解しますか？
(2x + 1)(3x + 1) になります。判別式が1で平方数なので有理数の解があり、有理数係数の1次式に分けられます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":-5,"c":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":-5,"c":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":-5,"c":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/factor-quadratic", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"a": 1,
"b": -5,
"c": 6
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.factor_quadratic",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
無料のブラウザツールと有料 API は同一の純決定的関数を共有するため、宿題デモ、解答キー、自動パイプラインが同じ係数で食い違うことはありません。
ax² + bx + c の有理因数分解の仕組み
経路全体は乱数種・時計・ネットワーク呼び出しのない決定的処理であり、同一係数は常に同一 JSON を生みます。a がほぼ零の特別ケースは invalid_input で拒否されます。
送信する内容と返ってくる結果
a が零または極めて零に近いとき、二次の因数分解には非零の二次項が必要であるという明確なメッセージで失敗し、クライアントは推測せず線形ツールへ切り替えられます。定番確認として、a が 一、b が マイナス五、c が 六 なら 開き括弧 x ひく 二 閉じ括弧 開き括弧 x ひく 三 閉じ括弧；a が 六、b が 五、c が 一 なら 開き括弧 二 x たす 一 閉じ括弧 開き括弧 三 x たす 一 閉じ括弧；a が 一、b が 零、c が 一 は有理数上既約；a が 二、b が 四、c が 二 なら 二 かける 開き括弧 x たす 一 閉じ括弧 の二乗の積形、となります。宿題と素早い健全性確認には無料のブラウザフォームを、解答キーや回帰フィクスチャの一括生成にはスクリプトから同一契約を呼び出してください。a x の二乗 たす b x たす c の係数を表す三つの有限数をフィールド a、b、c に送ってください。三フィールドとも必須です。欠落フィールド、非数値文字列、NaN、Infinity は invalid_input で失敗し課金されません。成功時の応答は整形済み係数、表示用多項式文字列、判別式、真偽フラグ factorable と irreducible、分解が存在するときは内容スケール、それぞれ coeff_x、const、二項文字列を持つ二オブジェクトの配列 factors、表示向けの短い factored_form 文字列を返します。cleared_integer オブジェクトは厳密演算に用いた整数係数 A、B、C と分母スケールを示し、分数入力のデバッグに役立ちます。成功した API 呼び出しの料金は公開ベースの $0.002 毎件で、検証失敗は前払い残高を消費しません。
実務で二次の因数分解が現れる場面
この機能は純粋な parse エンジンのため、API 料金は成功一件あたり公開ベースの $0.002 で、検証失敗は残高を消費しません。
技術的な質問
料金はいくらですか？
ブラウザツールは無料でローカル実行です。API リクエストは成功一件あたり $0.002 の前払い KIT 残高を使い、無効入力は課金されません。