Fracciones parciales
Separe una función racional en piezas simples listas para integrar: 1 entre (x − 1)(x − 2) se convierte en −1/(x − 1) + 1/(x − 2). También admite factores repetidos y cuadráticos irreducibles. Gratis en su navegador.
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La descomposición en fracciones parciales reescribe una función racional propia N de x sobre D de x como suma de piezas racionales más simples cuyos denominadores son potencias de los factores lineales reales e irreducibles cuadráticos de D. Esa suma es el montaje estándar para integrar racionales a mano, para transformadas inversas de Laplace en ingeniería y para limpiar denominadores anidados en pipelines de álgebra simbólica. Esta capacidad toma el numerador como arreglo de coeficientes en grado ascendente y el denominador como lista explícita de factores —cada factor lineal a x más b elevado a una potencia, o cuadrático irreducible a x al cuadrado más b x más c elevado a una potencia— y devuelve cada coeficiente indeterminado, una lista estructurada de términos y una cadena imprimible de la descomposición. Solo se aceptan racionales propias: si el grado del numerador no es estrictamente menor que el del denominador, la petición falla con un error de validación claro para que divida polinomios primero.
Cómo funcionan las fracciones parciales con factores lineales y cuadráticos
Parta de una racional propia N de x sobre D de x, es decir el grado de N es estrictamente menor que el de D tras expandir el denominador desde sus factores. Sobre los reales todo polinomio no constante se factoriza en piezas lineales a x más b y piezas cuadráticas irreducibles a x al cuadrado más b x más c con discriminante no positivo.
El ansatz clásico escribe un numerador constante A sub k por cada potencia de un factor lineal y un numerador lineal B sub k por x más C sub k por cada potencia de un factor cuadrático, recogiendo cada potencia desde uno hasta la multiplicidad completa de ese factor. Multiplique ambos lados por D para limpiar denominadores; el lado izquierdo es N y el derecho se convierte en combinación lineal de polinomios conocidos cuyos coeficientes son exactamente los A, B y C desconocidos.
Igualar coeficientes de potencias iguales de x produce un sistema lineal cuadrado cuyo tamaño iguala el grado de D. Los factores cuadráticos deben permanecer irreducibles; si el discriminante es positivo debe dividirlos en lineales reales antes de llamar a esta herramienta, porque la forma real de fracciones parciales no conserva un cuadrático reducible intacto.
Se admiten multiplicidades hasta un límite seguro de aula, de modo que factores repetidos como paréntesis x menos uno al cuadrado aparecen como A sobre x menos uno más B sobre paréntesis x menos uno al cuadrado.
Qué envía y qué recibe
Envíe factors como arreglo no vacío de objetos. Un factor lineal usa kind linear junto con coeficientes a y b para a x más b y un power entero opcional entre uno y ocho que por defecto es uno. Un factor cuadrático usa kind quadratic junto con a, b y c para a x al cuadrado más b x más c, el mismo power opcional, y debe cumplir b al cuadrado menos cuatro a c menor o igual a cero para que el cuadrático sea irreducible sobre los reales.
Comprobaciones clásicas incluyen uno sobre paréntesis x menos uno por paréntesis x menos dos igual a menos uno sobre x menos uno más uno sobre x menos dos, y numeradores con factor lineal repetido o un bloque irreducible x al cuadrado más uno. Use el formulario gratuito del navegador para deberes y comprobaciones rápidas, luego el contrato idéntico desde scripts cuando necesite generación masiva de claves.
Dónde aparece la descomposición en fracciones parciales en el trabajo real
Los cursos de cálculo de secundaria y universidad asignan ejercicios de fracciones parciales antes de cada unidad de integración racional, y los docentes necesitan un oráculo fiable que devuelva cada A, B y C con orden estable para correctores automáticos y claves de fichas. Las herramientas didácticas de álgebra computacional y los generadores de problemas de concurso fabrican integrandos racionales a partir de listas aleatorias de factores y deben rechazar entradas impropias en lugar de descartar en silencio un cociente polinómico.
Los cuadernos de ingeniería que limpian funciones de transferencia multifactoriales antes de Bode o residuos se benefician de la misma lista estructurada de términos que usa el aula. Si más adelante necesita división polinómica larga para fracciones impropias, factorización simbólica completa de un denominador expandido sin factorizar, fracciones parciales con factores complejos o antiderivadas automáticas de cada término, trátelos como intenciones de búsqueda y aterrizajes separados en lugar de sobrecargar esta página de fracciones parciales reales propias.
Qué puede hacer con ella
Deberes de cálculo y claves de respuesta
Genere cada término parcial de racionales propias del libro con factores lineales y cuadráticos para que docentes y correctores automáticos compartan una verdad de referencia antes de los ejercicios de integración.
Inversa de Laplace y residuos
Descomponga imágenes racionales de Laplace en polos simples y repetidos más bloques cuadráticos irreducibles para transformadas inversas y tablas de residuos.
Limpieza de funciones de transferencia
Reescriba funciones de transferencia racionales multifactoriales como suma de piezas elementales para análisis a mano, bocetos de Bode o exportación a cuadernos simbólicos.
Preguntas frecuentes
¿Qué es aquí una función racional propia?
Aquella cuyo grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador expandido.
¿Qué tipos de factores se admiten?
Factores lineales (a*x + b)^power y cuadráticos irreducibles (a*x² + b*x + c)^power con discriminante ≤ 0. Los cuadráticos reducibles deben dividirse en lineales reales antes de llamar a la herramienta.
¿Cómo se ordenan los coeficientes del numerador?
Grado ascendente: [c0, c1, c2] significa c0 + c1*x + c2*x². Coincide con muchas bibliotecas numéricas y mantiene simple el indexado del sistema lineal.
¿Maneja factores repetidos?
Sí. Fije power (o multiplicity) en un factor. Un lineal de potencia m produce m numeradores constantes A1…Am; un cuadrático de potencia m produce m numeradores lineales (Bk x + Ck).
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
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Llámela desde su stack
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}Ejemplo de respuesta
{
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"type": "algebra.partial_fractions",
"status": "queued",
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}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Cómo funcionan las fracciones parciales con factores lineales y cuadráticos
La eliminación de Gauss con pivoteo parcial resuelve ese sistema en aritmética de coma flotante determinista: sin semillas aleatorias, sin relojes, sin red y sin deriva de modelo, de modo que entradas idénticas siempre producen JSON idéntico.
Qué envía y qué recibe
Envíe numerator como arreglo JSON no vacío de números finitos en orden de grado ascendente de modo que c cero, c uno, c dos significa c cero más c uno por x más c dos por x al cuadrado y así sucesivamente. Campos ausentes, cadenas no numéricas, NaN, Infinity, arreglos vacíos, a principal cero en un factor, cuadráticos reducibles y racionales impropias fallan con invalid_input y no se cobran. En éxito la respuesta repite numerador limpio y coeficientes del denominador expandido, ambos grados, un flag proper en true, un resumen de factors con cadenas de visualización, un arreglo terms donde cada término lineal lleva coefficient y cada cuadrático lleva num_linear y num_const, una suma de descomposición legible y method igual a undetermined_coefficients. El precio de llamadas API exitosas es la base publicada $0.002 por ítem; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde aparece la descomposición en fracciones parciales en el trabajo real
Los cursos de ecuaciones diferenciales y control invierten transformadas de Laplace descomponiendo imágenes racionales en polos simples y denominadores cuadráticos; una API determinista alinea bots de deberes y demos de cuadernos. Como esta capacidad es un motor de parse puro, el precio de la API es la base publicada $0.002 por ítem exitoso y la validación fallida no consume saldo.