Frazioni parziali

La scomposizione in frazioni parziali riscrive una funzione razionale propria N di x su D di x come somma di pezzi razionali più semplici i cui denominatori sono potenze dei fattori lineari reali e quadratici irriducibili di D. Quella somma è l'allestimento standard per integrare razionali a mano, per trasformate inverse di Laplace in ingegneria e per ripulire denominatori annidati in pipeline di algebra simbolica. Questa capacità prende il numeratore come array di coefficienti in grado ascendente e il denominatore come elenco esplicito di fattori —ogni fattore lineare a x più b elevato a una potenza, o quadratico irriducibile a x al quadrato più b x più c elevato a una potenza— e restituisce ogni coefficiente indeterminato, un elenco strutturato di termini e una stringa stampabile della scomposizione. Si accettano solo razionali proprie: se il grado del numeratore non è strettamente inferiore a quello del denominatore, la richiesta fallisce con un errore di validazione chiaro affinché Lei divida prima i polinomi.

Come funzionano le frazioni parziali con fattori lineari e quadratici

Parta da una razionale propria N di x su D di x, cioè il grado di N strettamente inferiore a quello di D dopo aver espanso il denominatore dai suoi fattori. Sui reali ogni polinomio non costante si fattorizza in pezzi lineari a x più b e pezzi quadratici irriducibili a x al quadrato più b x più c con discriminante non positivo.

L'ansatz classico scrive un numeratore costante A sub k per ogni potenza di un fattore lineare e un numeratore lineare B sub k per x più C sub k per ogni potenza di un fattore quadratico, raccogliendo ogni potenza da uno fino alla molteplicità completa di quel fattore. Moltiplichi entrambi i lati per D per eliminare i denominatori; il lato sinistro è N e il destro diventa una combinazione lineare di polinomi noti i cui coefficienti sono esattamente gli A, B e C sconosciuti.

Uguagliare i coefficienti di potenze uguali di x produce un sistema lineare quadrato la cui dimensione uguaglia il grado di D. I fattori quadratici devono restare irriducibili; se il discriminante è positivo deve dividerli in lineari reali prima di chiamare questo strumento, perché la forma reale delle frazioni parziali non conserva un quadratico riducibile intatto.

Le molteplicità sono supportate fino a un limite sicuro di aula, così fattori ripetuti come parentesi x meno uno al quadrato compaiono come A su x meno uno più B su parentesi x meno uno al quadrato.

Cosa invia e cosa riceve

Invii factors come array non vuoto di oggetti. Un fattore lineare usa kind linear con coefficienti a e b per a x più b e un power intero opzionale tra uno e otto con predefinito uno. Un fattore quadratico usa kind quadratic con a, b e c per a x al quadrato più b x più c, lo stesso power opzionale, e deve soddisfare b al quadrato meno quattro a c minore o uguale a zero affinché il quadratico sia irriducibile sui reali.

Controlli classici includono uno su parentesi x meno uno per parentesi x meno due uguale a meno uno su x meno uno più uno su x meno due, e numeratori con fattore lineare ripetuto o un blocco irriducibile x al quadrato più uno. Usi il modulo gratuito del browser per compiti e controlli rapidi, poi il contratto identico da script quando serve generazione massiva di chiavi.

Dove la scomposizione in frazioni parziali compare nel lavoro reale

I corsi di calcolo della scuola secondaria e dell'università assegnano esercizi di frazioni parziali prima di ogni unità di integrazione razionale, e i docenti necessitano di un oracolo affidabile che restituisca ogni A, B e C con ordinamento stabile per correttori automatici e chiavi di schede. Gli strumenti didattici di algebra computazionale e i generatori di problemi da gara fabbricano integrandi razionali da elenchi casuali di fattori e devono rifiutare ingressi impropri invece di scartare in silenzio un quoziente polinomiale.

I taccuini di ingegneria che ripuliscono funzioni di trasferimento multi-fattore prima di Bode o residui beneficiano della stessa lista strutturata di termini che usa l'aula. Se più avanti le servono divisione polinomiale lunga per frazioni improprie, fattorizzazione simbolica completa di un denominatore espanso non fattorizzato, frazioni parziali a fattori complessi o antiderivate automatiche di ogni termine, le tratti come intenzioni di ricerca e pagine di atterraggio separate invece di sovraccaricare questa pagina di frazioni parziali reali proprie.